Номер 198, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

198. Решите неравенство:

1) $-3 < \frac{2x-5}{2} < 4$;

2) $-4 \leq 1 - \frac{x-2}{3} \leq -3.$

1)

Для решения двойного неравенства $-3 < \frac{2x - 5}{2} < 4$ необходимо выполнить равносильные преобразования над всеми его частями.

Сначала умножим все три части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби в средней части:

$-3 \cdot 2 < 2x - 5 < 4 \cdot 2$

$-6 < 2x - 5 < 8$

Затем прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы в центре осталось только выражение с $x$:

$-6 + 5 < 2x < 8 + 5$

$-1 < 2x < 13$

Наконец, разделим все части на 2, чтобы найти значение $x$:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{13}{2}$

Решением является интервал от -0,5 до 6,5.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{13}{2})$.

2)

Рассмотрим двойное неравенство $-4 \leq 1 - \frac{x-2}{3} \leq -3$.

Первым шагом вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-4 - 1 \leq -\frac{x-2}{3} \leq -3 - 1$

$-5 \leq -\frac{x-2}{3} \leq -4$

Далее умножим все части на -1. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$5 \geq \frac{x-2}{3} \geq 4$

Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$4 \leq \frac{x-2}{3} \leq 5$

Теперь умножим все части на 3:

$4 \cdot 3 \leq x-2 \leq 5 \cdot 3$

$12 \leq x - 2 \leq 15$

И последним шагом прибавим 2 ко всем частям, чтобы найти $x$:

$12 + 2 \leq x \leq 15 + 2$

$14 \leq x \leq 17$

Решением является отрезок от 14 до 17 включительно.

Ответ: $x \in [14; 17]$.