Номер 193, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

193. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $ \begin{cases} \frac{2x - 3}{5} - \frac{4x - 9}{6} > 1 \\ 5(x - 1) + 7(x + 2) > 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6}, \\ 0,3x - 19 \le 1,7x - 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} (x - 6)^2 < (x - 2)^2 - 8, \\ 3(2x - 1) - 8 < 34 - 3(5x - 9); \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{3x - 2}{3} - \frac{4x + 1}{4} \le 1, \\ (x - 1)(x - 2) > (x + 4)(x - 7). \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1 \\ 5(x-1) + 7(x+2) > 3 \end{cases} $.
Сначала решим первое неравенство: $ \frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1 $.
Приведем левую часть к общему знаменателю 30 и умножим обе части неравенства на 30:
$ 6(2x-3) - 5(4x-9) > 30 $
$ 12x - 18 - 20x + 45 > 30 $
$ -8x + 27 > 30 $
$ -8x > 3 $
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$ x < -\frac{3}{8} $
Теперь решим второе неравенство: $ 5(x-1) + 7(x+2) > 3 $.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 5x - 5 + 7x + 14 > 3 $
$ 12x + 9 > 3 $
$ 12x > 3 - 9 $
$ 12x > -6 $
$ x > -\frac{6}{12} $
$ x > -\frac{1}{2} $
Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $ x \in (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}) $.
Ответ: $ (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}) $.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6} \\ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 \end{cases} $.
Решим первое неравенство: $ \frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6} $.
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$ 3(x+1) - 2(x+2) < x+12 $
$ 3x + 3 - 2x - 4 < x+12 $
$ x - 1 < x + 12 $
$ -1 < 12 $
Данное неравенство верно при любых значениях $x$. Значит, его решение — $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Решим второе неравенство: $ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 $.
Перенесем слагаемые с $ x $ в правую часть, а числа — в левую:
$ -19 + 5 \leq 1.7x - 0.3x $
$ -14 \leq 1.4x $
$ x \geq \frac{-14}{1.4} $
$ x \geq -10 $
Решением системы является пересечение множеств $ x \in (-\infty; +\infty) $ и $ x \in [-10; +\infty) $, что дает $ x \in [-10; +\infty) $.
Ответ: $ [-10; +\infty) $.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-6)^2 < (x-2)^2 - 8 \\ 3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9) \end{cases} $.
Решим первое неравенство: $ (x-6)^2 < (x-2)^2 - 8 $.
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ x^2 - 12x + 36 < x^2 - 4x + 4 - 8 $
$ x^2 - 12x + 36 < x^2 - 4x - 4 $
Перенесем слагаемые с $ x $ вправо, а числа влево:
$ 36 + 4 < 12x - 4x $
$ 40 < 8x $
$ x > 5 $
Решим второе неравенство: $ 3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9) $.
Раскроем скобки:
$ 6x - 3 - 8 < 34 - 15x + 27 $
$ 6x - 11 < 61 - 15x $
Перенесем слагаемые с $ x $ влево, а числа вправо:
$ 6x + 15x < 61 + 11 $
$ 21x < 72 $
$ x < \frac{72}{21} $
$ x < \frac{24}{7} $
Теперь найдем пересечение решений: $ x > 5 $ и $ x < \frac{24}{7} $.
Поскольку $ \frac{24}{7} \approx 3.43 $, а $ 5 > \frac{24}{7} $, то не существует такого $ x $, которое одновременно больше 5 и меньше $ \frac{24}{7} $. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: $ \emptyset $.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \leq 1 \\ (x-1)(x-2) > (x+4)(x-7) \end{cases} $.
Решим первое неравенство: $ \frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \leq 1 $.
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$ 4(3x-2) - 3(4x+1) \leq 12 $
$ 12x - 8 - 12x - 3 \leq 12 $
$ -11 \leq 12 $
Данное неравенство верно при любых значениях $x$. Значит, его решение — $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Решим второе неравенство: $ (x-1)(x-2) > (x+4)(x-7) $.
Раскроем скобки:
$ x^2 - 2x - x + 2 > x^2 - 7x + 4x - 28 $
$ x^2 - 3x + 2 > x^2 - 3x - 28 $
$ 2 > -28 $
Данное неравенство также верно при любых значениях $x$. Его решение — $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Пересечением двух множеств, каждое из которых является множеством всех действительных чисел, является множество всех действительных чисел.
Ответ: $ (-\infty; +\infty) $.