Номер 192, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

192. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases} 8(2 - x) - 2x > 3, \\ -3(6x - 1) - x < 2x \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} \frac{x + 1}{4} - \frac{2x + 3}{3} > 1, \\ 6(2x - 1) < 5(x - 4) - 7 \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} 2(x - 3) \le 3x + 4(x + 1), \\ (x - 3)(x + 3) \le (x - 4)^2 - 1 \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} 2(x + 11) \ge 3(6 - x), \\ (x - 3)(x + 6) \ge (x + 5)(x - 4) \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} 2x - \frac{x + 1}{2} \le \frac{x + 1}{3}, \\ (x + 5)(x - 3) + 41 \ge (x - 6)^2 \end{cases}$$

6) $$\begin{cases} 5x + 4 \le 2x - 8, \\ (x + 2)(x - 1) \ge (x + 3)(x - 2) \end{cases}$$

7) $$\begin{cases} \frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}, \\ (x - 6)(x + 2) + 4x < (x - 7)(x + 7) \end{cases}$$

8) $$\begin{cases} \frac{6x + 1}{6} - \frac{5x - 1}{5} > -1, \\ 2(x + 8) - 3(x + 2) < 5 - x \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8(2 - x) - 2x > 3 \\ -3(6x - 1) - x < 2x \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$8(2 - x) - 2x > 3$
$16 - 8x - 2x > 3$
$16 - 10x > 3$
$-10x > 3 - 16$
$-10x > -13$
$10x < 13$
$x < 1.3$

Решим второе неравенство:
$-3(6x - 1) - x < 2x$
$-18x + 3 - x < 2x$
$-19x + 3 < 2x$
$3 < 2x + 19x$
$3 < 21x$
$x > \frac{3}{21}$
$x > \frac{1}{7}$

Найдем пересечение решений: $x < 1.3$ и $x > \frac{1}{7}$.
Таким образом, $\frac{1}{7} < x < 1.3$.
Ответ: $(\frac{1}{7}; 1.3)$

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1 \\ 6(2x-1) < 5(x-4) - 7 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$\frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1$
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$3(x+1) - 4(2x+3) > 12$
$3x + 3 - 8x - 12 > 12$
$-5x - 9 > 12$
$-5x > 21$
$x < -\frac{21}{5}$
$x < -4.2$

Решим второе неравенство:
$6(2x-1) < 5(x-4) - 7$
$12x - 6 < 5x - 20 - 7$
$12x - 6 < 5x - 27$
$12x - 5x < -27 + 6$
$7x < -21$
$x < -3$

Найдем пересечение решений: $x < -4.2$ и $x < -3$.
Общим решением является $x < -4.2$.
Ответ: $(-\infty; -4.2)$

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x - 3) \le 3x + 4(x + 1) \\ (x - 3)(x + 3) \le (x - 4)^2 - 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2(x - 3) \le 3x + 4(x + 1)$
$2x - 6 \le 3x + 4x + 4$
$2x - 6 \le 7x + 4$
$-6 - 4 \le 7x - 2x$
$-10 \le 5x$
$x \ge -2$

Решим второе неравенство:
$(x - 3)(x + 3) \le (x - 4)^2 - 1$
$x^2 - 9 \le (x^2 - 8x + 16) - 1$
$x^2 - 9 \le x^2 - 8x + 15$
$-9 \le -8x + 15$
$8x \le 15 + 9$
$8x \le 24$
$x \le 3$

Найдем пересечение решений: $x \ge -2$ и $x \le 3$.
Общим решением является $-2 \le x \le 3$.
Ответ: $[-2; 3]$

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x + 11) \ge 3(6 - x) \\ (x - 3)(x + 6) \ge (x + 5)(x - 4) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2(x + 11) \ge 3(6 - x)$
$2x + 22 \ge 18 - 3x$
$2x + 3x \ge 18 - 22$
$5x \ge -4$
$x \ge -0.8$

Решим второе неравенство:
$(x - 3)(x + 6) \ge (x + 5)(x - 4)$
$x^2 + 6x - 3x - 18 \ge x^2 - 4x + 5x - 20$
$x^2 + 3x - 18 \ge x^2 + x - 20$
$3x - x \ge -20 + 18$
$2x \ge -2$
$x \ge -1$

Найдем пересечение решений: $x \ge -0.8$ и $x \ge -1$.
Общим решением является $x \ge -0.8$.
Ответ: $[-0.8; +\infty)$

5) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x+1}{3} \\ (x + 5)(x - 3) + 41 \ge (x - 6)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x+1}{3}$
Умножим обе части на 6:
$12x - 3(x+1) \le 2(x+1)$
$12x - 3x - 3 \le 2x + 2$
$9x - 3 \le 2x + 2$
$7x \le 5$
$x \le \frac{5}{7}$

Решим второе неравенство:
$(x + 5)(x - 3) + 41 \ge (x - 6)^2$
$x^2 - 3x + 5x - 15 + 41 \ge x^2 - 12x + 36$
$x^2 + 2x + 26 \ge x^2 - 12x + 36$
$2x + 12x \ge 36 - 26$
$14x \ge 10$
$x \ge \frac{10}{14}$
$x \ge \frac{5}{7}$

Найдем пересечение решений: $x \le \frac{5}{7}$ и $x \ge \frac{5}{7}$.
Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\{\frac{5}{7}\}$

6) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x + 4 \le 2x - 8 \\ (x + 2)(x - 1) \ge (x + 3)(x - 2) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$5x + 4 \le 2x - 8$
$5x - 2x \le -8 - 4$
$3x \le -12$
$x \le -4$

Решим второе неравенство:
$(x + 2)(x - 1) \ge (x + 3)(x - 2)$
$x^2 - x + 2x - 2 \ge x^2 - 2x + 3x - 6$
$x^2 + x - 2 \ge x^2 + x - 6$
$-2 \ge -6$
Это неравенство верно для любого значения $x$, так как $-2$ всегда больше $-6$.

Найдем пересечение решений: $x \le -4$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Общим решением является $x \le -4$.
Ответ: $(-\infty; -4]$

7) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+2}{7} < \frac{x+1}{4} \\ (x - 6)(x + 2) + 4x < (x - 7)(x + 7) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$\frac{x+2}{7} < \frac{x+1}{4}$
Умножим обе части на 28:
$4(x+2) < 7(x+1)$
$4x + 8 < 7x + 7$
$8 - 7 < 7x - 4x$
$1 < 3x$
$x > \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство:
$(x - 6)(x + 2) + 4x < (x - 7)(x + 7)$
$x^2 + 2x - 6x - 12 + 4x < x^2 - 49$
$x^2 - 12 < x^2 - 49$
$-12 < -49$
Это неравенство ложно. Следовательно, у второго неравенства нет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений

8) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1 \\ 2(x + 8) - 3(x + 2) < 5 - x \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$\frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1$
Умножим обе части на 30:
$5(6x+1) - 6(5x-1) > -30$
$30x + 5 - 30x + 6 > -30$
$11 > -30$
Это неравенство верно для любого значения $x$.

Решим второе неравенство:
$2(x + 8) - 3(x + 2) < 5 - x$
$2x + 16 - 3x - 6 < 5 - x$
$-x + 10 < 5 - x$
$10 < 5$
Это неравенство ложно. Следовательно, у второго неравенства нет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений