Номер 185, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

185. Найдите множество решений неравенства:

1) $-3 < x - 4 < 7;$

2) $-2,4 \leq 3x + 0,6 \leq 3;$

3) $0,8 \leq 6 - 2x < 1,4;$

4) $4 < \frac{x}{5} - 2 \leq 5.$

1)

Дано двойное неравенство: $-3 < x - 4 < 7$.
Чтобы найти множество решений, необходимо выделить $x$ в центральной части неравенства. Для этого прибавим число 4 ко всем трём частям неравенства. Прибавление числа не меняет знаков неравенства.
$-3 + 4 < x - 4 + 4 < 7 + 4$
Выполним сложение в левой и правой частях:
$1 < x < 11$
Таким образом, решением является интервал от 1 до 11, не включая концы.
Ответ: $(1; 11)$.

2)

Дано двойное неравенство: $-2,4 \le 3x + 0,6 \le 3$.
Сначала вычтем 0,6 из всех трёх частей неравенства, чтобы в центральной части осталось только выражение с $x$.
$-2,4 - 0,6 \le 3x + 0,6 - 0,6 \le 3 - 0,6$
Выполним вычитание:
$-3 \le 3x \le 2,4$
Теперь разделим все три части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не меняются.
$\frac{-3}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{2,4}{3}$
Выполним деление:
$-1 \le x \le 0,8$
Решением является числовой отрезок от -1 до 0,8, включая концы.
Ответ: $[-1; 0,8]$.

3)

Дано двойное неравенство: $0,8 \le 6 - 2x < 1,4$.
Сначала вычтем 6 из всех трёх частей неравенства.
$0,8 - 6 \le 6 - 2x - 6 < 1,4 - 6$
Выполним вычитание:
$-5,2 \le -2x < -4,6$
Теперь разделим все три части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$\frac{-5,2}{-2} \ge \frac{-2x}{-2} > \frac{-4,6}{-2}$
Выполним деление:
$2,6 \ge x > 2,3$
Для стандартной записи расположим числа в порядке возрастания, "перевернув" неравенство:
$2,3 < x \le 2,6$
Решением является полуинтервал от 2,3 до 2,6, не включая 2,3, но включая 2,6.
Ответ: $(2,3; 2,6]$.

4)

Дано двойное неравенство: $4 < \frac{x}{5} - 2 \le 5$.
Сначала прибавим 2 ко всем трём частям неравенства.
$4 + 2 < \frac{x}{5} - 2 + 2 \le 5 + 2$
Выполним сложение:
$6 < \frac{x}{5} \le 7$
Теперь умножим все три части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знаки неравенства не меняются.
$6 \cdot 5 < \frac{x}{5} \cdot 5 \le 7 \cdot 5$
Выполним умножение:
$30 < x \le 35$
Решением является полуинтервал от 30 до 35, не включая 30, но включая 35.
Ответ: $(30; 35]$.