Номер 182, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

182. Изобразите на координатной прямой и запишите множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} x \le 2, \\ x \le -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 2, \\ x > -1; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x < 2, \\ x \ge -1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x \le 2, \\ x < -1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x > 2, \\ x \ge -1; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x > 2, \\ x \le -1; \end{cases}$

7) $\begin{cases} x \ge 2, \\ x \le 2; \end{cases}$

8) $\begin{cases} x \ge 2, \\ x < 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x \le 2 \\ x \le -1 \end{cases} $.

Первое неравенство, $x \le 2$, означает все числа, которые не превышают 2. На координатной прямой это луч, идущий от 2 влево. Второе неравенство, $x \le -1$, означает все числа, которые не превышают -1. На координатной прямой это луч, идущий от -1 влево. Решением системы является пересечение этих двух множеств. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть одновременно меньше или равно 2 и меньше или равно -1. Очевидно, что если число меньше или равно -1, оно автоматически меньше или равно 2. Следовательно, решением системы является множество $x \le -1$.

Множество решений в виде промежутка: $(-\infty, -1]$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x \le 2 \\ x > -1 \end{cases} $.

Первое неравенство $x \le 2$ задает множество всех чисел, меньших или равных 2. Второе неравенство $x > -1$ задает множество всех чисел, строго больших -1. Решением системы является пересечение этих множеств, то есть все числа, которые одновременно больше -1 и меньше или равны 2. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 < x \le 2$.

Множество решений в виде промежутка: $(-1, 2]$.
Ответ: $x \in (-1, 2]$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x < 2 \\ x \ge -1 \end{cases} $.

Первое неравенство $x < 2$ задает множество всех чисел, строго меньших 2. Второе неравенство $x \ge -1$ задает множество всех чисел, больших или равных -1. Решением системы является пересечение этих множеств, то есть все числа, которые одновременно не меньше -1 и строго меньше 2. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-1 \le x < 2$.

Множество решений в виде промежутка: $[-1, 2)$.
Ответ: $x \in [-1, 2)$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x \le 2 \\ x < -1 \end{cases} $.

Первое неравенство, $x \le 2$, соответствует всем числам, не превышающим 2. Второе неравенство, $x < -1$, соответствует всем числам, строго меньшим -1. Пересечением этих множеств будут числа, удовлетворяющие обоим условиям. Если число строго меньше -1, то оно автоматически меньше или равно 2. Значит, решением системы является множество $x < -1$.

Множество решений в виде промежутка: $(-\infty, -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

5) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x > 2 \\ x \ge -1 \end{cases} $.

Первое неравенство $x > 2$ означает все числа, строго большие 2. Второе неравенство $x \ge -1$ означает все числа, большие или равные -1. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, оно должно быть одновременно больше 2 и больше или равно -1. Если число больше 2, оно автоматически больше или равно -1. Следовательно, решением системы является множество $x > 2$.

Множество решений в виде промежутка: $(2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

6) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x > 2 \\ x \le -1 \end{cases} $.

Первое неравенство $x > 2$ задает множество чисел, которые находятся на координатной прямой правее точки 2. Второе неравенство $x \le -1$ задает множество чисел, которые находятся на координатной прямой левее точки -1, включая саму точку -1. Эти два множества не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Не существует числа, которое одновременно больше 2 и меньше или равно -1.

Множество решений пусто.
Ответ: $x \in \emptyset$.

7) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 2 \end{cases} $.

Первое неравенство $x \ge 2$ означает, что $x$ может быть равен 2 или больше 2. Второе неравенство $x \le 2$ означает, что $x$ может быть равен 2 или меньше 2. Единственное число, которое удовлетворяет обоим условиям одновременно, это число 2.

Множество решений состоит из одного числа: $\{2\}$.
Ответ: $x = 2$.

8) Решим систему неравенств $ \begin{cases} x \ge 2 \\ x < 2 \end{cases} $.

Первое неравенство $x \ge 2$ означает, что $x$ больше или равен 2. Второе неравенство $x < 2$ означает, что $x$ строго меньше 2. Не существует числа, которое может быть одновременно и больше или равно 2, и строго меньше 2. Эти два условия являются взаимоисключающими. Множества решений не пересекаются.

Множество решений пусто.
Ответ: $x \in \emptyset$.