Номер 176, страница 44 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

176. Изобразите на координатной прямой и запишите пересечение промежутков:

1) $ [-1; 7] $ и $ [4; 9]; $

2) $ [3; 6] $ и $ (3; 8); $

3) $ (-\infty; 3,4) $ и $ (2,5; +\infty); $

4) $ (-\infty; 2,6) $ и $ (2,8; +\infty); $

5) $ [9; +\infty) $ и $ [11,5; +\infty); $

6) $ (-\infty; -4,2] $ и $ (-\infty; -1,3). $

1) $[-1; 7]$ и $[4; 9]$

Изобразим на координатной прямой оба промежутка. Первый промежуток $ [-1; 7] $ — это все числа от -1 до 7, включая концы. На прямой это отрезок, ограниченный закрашенными точками. Второй промежуток $ [4; 9] $ — это все числа от 4 до 9, также включая концы. Изобразим его штриховкой под прямой.

Пересечением (общей частью) этих двух промежутков является промежуток, где обе штриховки совпадают. Это область от 4 до 7. Так как точки 4 и 7 принадлежат обоим исходным промежуткам (обозначены закрашенными кружками), они входят в пересечение. Таким образом, искомый промежуток — $ [4; 7] $.

Ответ: $ [4; 7] $

2) $[3; 6]$ и $(3; 8)$

Первый промежуток $ [3; 6] $ включает все числа от 3 до 6 включительно (закрашенные точки). Второй промежуток $ (3; 8) $ включает все числа между 3 и 8, не включая сами концы (выколотые, или пустые, точки).

Общей частью является промежуток от 3 до 6. Число 3 не входит в пересечение, так как оно не принадлежит второму промежутку (точка выколота). Число 6 входит в пересечение, так как оно принадлежит обоим промежуткам. Следовательно, пересечение — это полуинтервал $ (3; 6] $.

Ответ: $ (3; 6] $

3) $(-\infty; 3,4)$ и $(2,5; +\infty)$

Первый промежуток $ (-\infty; 3,4) $ — это все числа, которые меньше 3,4 (луч, идущий влево от выколотой точки 3,4). Второй промежуток $ (2,5; +\infty) $ — это все числа, которые больше 2,5 (луч, идущий вправо от выколотой точки 2,5).

Пересечение — это область, где оба луча совпадают. Это все числа, которые одновременно больше 2,5 и меньше 3,4. Концевые точки 2,5 и 3,4 не входят в пересечение, так как они не принадлежат одному из исходных промежутков. Таким образом, пересечением является интервал $ (2,5; 3,4) $.

Ответ: $ (2,5; 3,4) $

4) $(-\infty; 2,6)$ и $(2,8; +\infty)$

Первый промежуток $ (-\infty; 2,6) $ — это все числа, меньшие 2,6. Второй промежуток $ (2,8; +\infty) $ — это все числа, большие 2,8. Обе точки, 2,6 и 2,8, являются выколотыми.

Как видно из изображения, эти два промежутка не имеют общих точек, они не пересекаются. Нет такого числа, которое было бы одновременно меньше 2,6 и больше 2,8. Следовательно, их пересечение — пустое множество.

Ответ: $ \emptyset $

5) $[9; +\infty)$ и $[11,5; +\infty)$

Первый промежуток $ [9; +\infty) $ — это все числа, которые больше или равны 9. Второй промежуток $ [11,5; +\infty) $ — это все числа, большие или равные 11,5. Обе точки, 9 и 11,5, включены в свои промежутки (закрашенные).

Общая часть этих двух лучей начинается в точке 11,5 и продолжается вправо до бесконечности. Все числа, которые больше или равны 11,5, также больше или равны 9. Таким образом, пересечением является промежуток $ [11,5; +\infty) $.

Ответ: $ [11,5; +\infty) $

6) $(-\infty; -4,2]$ и $(-\infty; -1,3)$

Первый промежуток $ (-\infty; -4,2] $ — это все числа, которые меньше или равны -4,2 (точка -4,2 закрашена). Второй промежуток $ (-\infty; -1,3) $ — это все числа, которые строго меньше -1,3 (точка -1,3 выколота).

Так как $ -4,2 < -1,3 $, то любое число, которое меньше или равно -4,2, автоматически является и меньше -1,3. Это означает, что первый промежуток полностью содержится во втором. Следовательно, их пересечением будет сам первый промежуток.

Ответ: $ (-\infty; -4,2] $