Номер 183, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

183. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x - 4 < 0, \\ 2x \ge -6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2 > 3, \\ -3x < -12; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 6 > 2, \\ \frac{x}{4} < 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 6x + 3 \ge 0, \\ 7 - 4x < 7; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 10x - 1 \ge 3, \\ 7 - 3x \ge 2x - 3; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x - 2 < 1 + 3x, \\ 5x - 7 \le x + 9; \end{cases}$

7) $\begin{cases} 3x - 6 \le x - 1, \\ 11x + 13 < x + 3; \end{cases}$

8) $\begin{cases} 5x + 14 \ge 18 - x, \\ 1.5x + 1 < 3x - 2; \end{cases}$

9) $\begin{cases} 4x + 19 \le 5x - 1, \\ 10x < 3x + 21. \end{cases}$

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности:

1. $x - 4 < 0 \implies x < 4$

2. $2x \ge -6 \implies x \ge \frac{-6}{2} \implies x \ge -3$

Теперь найдем пересечение полученных решений. Нам нужны значения $x$, которые одновременно больше или равны -3 и меньше 4. Это соответствует промежутку $ -3 \le x < 4 $.

Ответ: $[-3, 4)$.

2)

Решим каждое неравенство системы:

1. $x - 2 > 3 \implies x > 5$

2. $-3x < -12$. При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{-12}{-3} \implies x > 4$.

Пересечением решений $x > 5$ и $x > 4$ является промежуток $x > 5$.

Ответ: $(5, +\infty)$.

3)

Решим каждое неравенство системы:

1. $x + 6 > 2 \implies x > 2 - 6 \implies x > -4$

2. $\frac{x}{4} < 2$. Умножим обе части на 4: $x < 8$.

Решением системы является пересечение промежутков $x > -4$ и $x < 8$, что дает $-4 < x < 8$.

Ответ: $(-4, 8)$.

4)

Решим каждое неравенство системы:

1. $6x + 3 \ge 0 \implies 6x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{6} \implies x \ge -0.5$

2. $7 - 4x < 7 \implies -4x < 0$. Делим на -4 и меняем знак: $x > 0$.

Пересечением решений $x \ge -0.5$ и $x > 0$ является промежуток $x > 0$.

Ответ: $(0, +\infty)$.

5)

Решим каждое неравенство системы:

1. $10x - 1 \ge 3 \implies 10x \ge 4 \implies x \ge \frac{4}{10} \implies x \ge 0.4$

2. $7 - 3x \ge 2x - 3 \implies 7 + 3 \ge 2x + 3x \implies 10 \ge 5x \implies 2 \ge x \implies x \le 2$

Решением системы является пересечение промежутков $x \ge 0.4$ и $x \le 2$, что дает $0.4 \le x \le 2$.

Ответ: $[0.4, 2]$.

6)

Решим каждое неравенство системы:

1. $x - 2 < 1 + 3x \implies -2 - 1 < 3x - x \implies -3 < 2x \implies x > -\frac{3}{2} \implies x > -1.5$

2. $5x - 7 \le x + 9 \implies 5x - x \le 9 + 7 \implies 4x \le 16 \implies x \le 4$

Решением системы является пересечение промежутков $x > -1.5$ и $x \le 4$, что дает $-1.5 < x \le 4$.

Ответ: $(-1.5, 4]$.

7)

Решим каждое неравенство системы:

1. $3x - 6 \le x - 1 \implies 3x - x \le -1 + 6 \implies 2x \le 5 \implies x \le 2.5$

2. $11x + 13 < x + 3 \implies 11x - x < 3 - 13 \implies 10x < -10 \implies x < -1$

Пересечением решений $x \le 2.5$ и $x < -1$ является промежуток $x < -1$.

Ответ: $(-\infty, -1)$.

8)

Решим каждое неравенство системы:

1. $5x + 14 \ge 18 - x \implies 5x + x \ge 18 - 14 \implies 6x \ge 4 \implies x \ge \frac{4}{6} \implies x \ge \frac{2}{3}$

2. $1.5x + 1 < 3x - 2 \implies 1 + 2 < 3x - 1.5x \implies 3 < 1.5x \implies x > \frac{3}{1.5} \implies x > 2$

Пересечением решений $x \ge \frac{2}{3}$ и $x > 2$ является промежуток $x > 2$.

Ответ: $(2, +\infty)$.

9)

Решим каждое неравенство системы:

1. $4x + 19 \le 5x - 1 \implies 19 + 1 \le 5x - 4x \implies 20 \le x \implies x \ge 20$

2. $10x < 3x + 21 \implies 10x - 3x < 21 \implies 7x < 21 \implies x < 3$

Система не имеет решений, так как не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно больше или равно 20 и меньше 3. Пересечение множеств решений пусто.

Ответ: $\emptyset$.