Номер 180, страница 45 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

180. Известно, что $a < b < c < d$. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков $(a; c)$ и $(b; d):

1) $(a; d);$

2) $(b; c);$

3) $(c; d);$

4) $(a; b)?$

По условию задачи даны четыре числа, связанные строгим неравенством $a < b < c < d$. Нам необходимо найти пересечение двух открытых промежутков (интервалов): $(a; c)$ и $(b; d)$.

Пересечение двух множеств — это множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат обоим исходным множествам. Пересечение промежутков $(a; c)$ и $(b; d)$ обозначается как $(a; c) \cap (b; d)$. Мы ищем все числа $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x$ находится в промежутке $(a; c)$ и $x$ находится в промежутке $(b; d)$.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:
1. Принадлежность промежутку $(a; c)$ означает, что $a < x < c$.
2. Принадлежность промежутку $(b; d)$ означает, что $b < x < d$.

Чтобы найти пересечение, нужно решить систему неравенств: $ \begin{cases} a < x < c \\ b < x < d \end{cases} $

Эту систему можно представить в виде двух отдельных систем для левой и правой границ:
- Для левой границы: $x > a$ и $x > b$. Так как по условию $a < b$, то более строгим (сильным) ограничением является $x > b$. Любое число, которое больше $b$, заведомо будет больше $a$.
- Для правой границы: $x < c$ и $x < d$. Так как по условию $c < d$, то более строгим ограничением является $x < c$. Любое число, которое меньше $c$, заведомо будет меньше $d$.

Объединяя самые строгие ограничения с обеих сторон, мы получаем итоговое двойное неравенство для $x$: $b < x < c$.

Это неравенство задает открытый промежуток $(b; c)$.
Среди предложенных вариантов:
1) $(a; d)$
2) $(b; c)$
3) $(c; d)$
4) $(a; b)$
наш результат совпадает с вариантом 2.

Ответ: 2) $(b; c)$.