Номер 184, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

184. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} -4x \le -12 \\ x + 2 > 6 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 8 - x \ge 5 \\ x - 7 \le 2 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 3x - 3 < 5x \\ 7x - 10 < 5x \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2 - 3x < 4x - 12 \\ 7 + 3x \ge 2x + 10 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x + 3 \ge 8 \\ \frac{x + 1}{3} < 6 \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 5x - 2 \ge 2x + 1 \\ 2x + 3 \le 33 - 3x \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} -4x \le -12 \\ x + 2 > 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$-4x \le -12$

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число (-4) необходимо изменить знак неравенства на противоположный:

$x \ge \frac{-12}{-4}$

$x \ge 3$

Решим второе неравенство:

$x + 2 > 6$

Перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком:

$x > 6 - 2$

$x > 4$

Теперь необходимо найти пересечение решений $x \ge 3$ и $x > 4$. На числовой прямой это область, где оба условия выполняются одновременно. Таким образом, решением системы является $x > 4$.

Ответ: $x > 4$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 8 - x \ge 5 \\ x - 7 \le 2 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$8 - x \ge 5$

Перенесем 8 в правую часть:

$-x \ge 5 - 8$

$-x \ge -3$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 3$

Решим второе неравенство:

$x - 7 \le 2$

Перенесем -7 в правую часть:

$x \le 2 + 7$

$x \le 9$

Найдем пересечение решений $x \le 3$ и $x \le 9$. Общим решением является промежуток, удовлетворяющий обоим неравенствам, то есть $x \le 3$.

Ответ: $x \le 3$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 3 < 5x \\ 7x - 10 < 5x \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x - 3 < 5x$

Перенесем члены с переменной в одну сторону, а свободные члены в другую:

$-3 < 5x - 3x$

$-3 < 2x$

$x > -\frac{3}{2}$ или $x > -1.5$

Решим второе неравенство:

$7x - 10 < 5x$

Перенесем члены с переменной в одну сторону, а свободные члены в другую:

$7x - 5x < 10$

$2x < 10$

$x < 5$

Найдем пересечение решений $x > -1.5$ и $x < 5$. Общим решением является интервал $(-1.5; 5)$.

Ответ: $-1.5 < x < 5$.

4)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 2 - 3x < 4x - 12 \\ 7 + 3x \ge 2x + 10 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2 - 3x < 4x - 12$

Перенесем члены с $x$ вправо, а свободные члены влево:

$2 + 12 < 4x + 3x$

$14 < 7x$

$2 < x$ или $x > 2$

Решим второе неравенство:

$7 + 3x \ge 2x + 10$

Перенесем члены с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$3x - 2x \ge 10 - 7$

$x \ge 3$

Найдем пересечение решений $x > 2$ и $x \ge 3$. Общим решением будет промежуток, где выполняются оба условия, то есть $x \ge 3$.

Ответ: $x \ge 3$.

5)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} x + 3 \ge 8 \\ \frac{x+1}{3} < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x + 3 \ge 8$

Перенесем 3 в правую часть:

$x \ge 8 - 3$

$x \ge 5$

Решим второе неравенство:

$\frac{x+1}{3} < 6$

Умножим обе части на 3:

$x + 1 < 18$

Перенесем 1 в правую часть:

$x < 18 - 1$

$x < 17$

Найдем пересечение решений $x \ge 5$ и $x < 17$. Общим решением является полуинтервал $[5; 17)$.

Ответ: $5 \le x < 17$.

6)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x - 2 \ge 2x + 1 \\ 2x + 3 \le 33 - 3x \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$5x - 2 \ge 2x + 1$

Перенесем члены с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$5x - 2x \ge 1 + 2$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Решим второе неравенство:

$2x + 3 \le 33 - 3x$

Перенесем члены с $x$ влево, а свободные члены вправо:

$2x + 3x \le 33 - 3$

$5x \le 30$

$x \le 6$

Найдем пересечение решений $x \ge 1$ и $x \le 6$. Общим решением является отрезок $[1; 6]$.

Ответ: $1 \le x \le 6$.