Номер 186, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

186. Решите неравенство:

1) $2 < x + 10 \le 14;$

2) $10 < 4x - 2 < 18;$

3) $-1,8 \le 1 - 7x \le 36;$

4) $1 \le \frac{x+1}{4} < 1,5.$

1) Дано двойное неравенство $2 < x + 10 \le 14$. Для решения необходимо изолировать переменную $x$ в средней части неравенства. Для этого вычтем 10 из всех трех частей неравенства:
$2 - 10 < x + 10 - 10 \le 14 - 10$
$-8 < x \le 4$
Это означает, что $x$ больше -8, но меньше или равен 4. Решение в виде числового промежутка: $(-8; 4]$.
Ответ: $(-8; 4]$

2) Дано двойное неравенство $10 < 4x - 2 < 18$. Сначала прибавим 2 ко всем трем частям неравенства, чтобы избавиться от свободного члена в средней части:
$10 + 2 < 4x - 2 + 2 < 18 + 2$
$12 < 4x < 20$
Теперь разделим все части неравенства на 4. Так как 4 - положительное число, знаки неравенства не меняются:
$\frac{12}{4} < \frac{4x}{4} < \frac{20}{4}$
$3 < x < 5$
Решение в виде числового интервала: $(3; 5)$.
Ответ: $(3; 5)$

3) Дано двойное неравенство $-1,8 \le 1 - 7x \le 36$. Сначала вычтем 1 из всех трех частей неравенства:
$-1,8 - 1 \le 1 - 7x - 1 \le 36 - 1$
$-2,8 \le -7x \le 35$
Теперь разделим все части неравенства на -7. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-2,8}{-7} \ge \frac{-7x}{-7} \ge \frac{35}{-7}$
$0,4 \ge x \ge -5$
Для удобства восприятия запишем неравенство в порядке возрастания, поменяв местами левую и правую части:
$-5 \le x \le 0,4$
Решение в виде числового отрезка: $[-5; 0,4]$.
Ответ: $[-5; 0,4]$

4) Дано двойное неравенство $1 \le \frac{x+1}{4} < 1,5$. Сначала умножим все три части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 - положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$1 \cdot 4 \le \frac{x+1}{4} \cdot 4 < 1,5 \cdot 4$
$4 \le x + 1 < 6$
Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$4 - 1 \le x + 1 - 1 < 6 - 1$
$3 \le x < 5$
Решение в виде числового полуинтервала: $[3; 5)$.
Ответ: $[3; 5)$