Номер 181, страница 46 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

181. Известно, что $m < n < k < p$. Какой из данных промежутков является пересечением промежутков $(m; p)$ и $(n; k):$

1) $(m; n);$

2) $(k; p);$

3) $(n; k);$

4) $(m; p)?$

По условию задачи известно, что числа $m, n, k, p$ связаны строгим неравенством $m < n < k < p$. Требуется найти пересечение двух интервалов: $(m; p)$ и $(n; k)$.

Пересечением двух множеств (в данном случае, интервалов) называется множество, содержащее все те и только те элементы, которые принадлежат обоим исходным множествам. Иными словами, мы ищем множество всех чисел $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \in (m; p)$ и $x \in (n; k)$.

Эти условия можно записать в виде системы строгих неравенств: $ \begin{cases} m < x < p \\ n < x < k \end{cases} $

Для наглядности можно изобразить эти интервалы на числовой прямой, отметив на ней точки $m, n, k, p$ в соответствии с заданным порядком:

Интервал (m; p): (-----------------------)Числовая прямая: <--+-------+-------+-------+-------+--> m n k pИнтервал (n; k): (-------) 

Из графического представления видно, что общая часть (перекрытие) двух интервалов — это промежуток от $n$ до $k$.

Решим систему неравенств алгебраически. Систему можно разбить на четыре отдельных неравенства: $ \begin{cases} x > m \\ x < p \\ x > n \\ x < k \end{cases} $

Сравним неравенства, ограничивающие $x$ снизу: $x > m$ и $x > n$. Поскольку по условию $n > m$, более сильным (ограничивающим) является неравенство $x > n$.

Сравним неравенства, ограничивающие $x$ сверху: $x < p$ и $x < k$. Поскольку по условию $k < p$, более сильным (ограничивающим) является неравенство $x < k$.

Таким образом, решение системы — это все числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $n < x < k$. Это соответствует интервалу $(n; k)$.

Следовательно, пересечением промежутков $(m; p)$ и $(n; k)$ является промежуток $(n; k)$. Сравнив этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту 3.

Ответ: 3) $(n; k)$.