Номер 196, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

196. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{6x - 9} + \sqrt{2x - 5};$

2) $\sqrt{3x + 5} - \frac{1}{\sqrt{15 - 5x}};$

3) $\sqrt{2x - 4} + \sqrt{1 - x};$

4) $\sqrt{12 - 3x} - \frac{5}{x - 4}.$

1) Для нахождения области определения выражения $\sqrt{6x-9}+\sqrt{2x-5}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 6x - 9 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$6x \ge 9$
$x \ge \frac{9}{6}$
$x \ge 1.5$
Решим второе неравенство:
$2x \ge 5$
$x \ge \frac{5}{2}$
$x \ge 2.5$
Для того чтобы система имела решение, необходимо найти пересечение полученных множеств: $x \ge 1.5$ и $x \ge 2.5$. Общим решением является $x \ge 2.5$.
Ответ: $[2.5; +\infty)$.

2) Область определения выражения $\sqrt{3x+5}-\frac{1}{\sqrt{15-5x}}$ задается двумя условиями. Во-первых, подкоренное выражение $3x+5$ должно быть неотрицательным. Во-вторых, подкоренное выражение $15-5x$, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x + 5 \ge 0 \\ 15 - 5x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$3x \ge -5$
$x \ge -\frac{5}{3}$
Решим второе неравенство:
$15 > 5x$
$3 > x$ или $x < 3$
Общим решением системы является пересечение этих двух условий: $-\frac{5}{3} \le x < 3$.
Ответ: $[-\frac{5}{3}; 3)$.

3) Для нахождения области определения выражения $\sqrt{2x-4}+\sqrt{1-x}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x \ge 4$
$x \ge 2$
Решим второе неравенство:
$1 \ge x$
$x \le 1$
Нужно найти значения $x$, которые одновременно больше или равны 2 и меньше или равны 1. Таких значений не существует, так как промежутки $[2; +\infty)$ и $(-\infty; 1]$ не пересекаются. Следовательно, область определения — пустое множество.
Ответ: $\emptyset$.

4) Область определения выражения $\sqrt{12-3x}-\frac{5}{x-4}$ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Составим систему:
$\begin{cases} 12 - 3x \ge 0 \\ x - 4 \ne 0 \end{cases}$
Решим неравенство:
$12 \ge 3x$
$4 \ge x$ или $x \le 4$
Второе условие: $x \ne 4$.
Объединяя условия $x \le 4$ и $x \ne 4$, получаем, что $x$ должен быть строго меньше 4.
Ответ: $(-\infty; 4)$.