Номер 203, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

203. Решите неравенство:

1) $(x - 3)(x + 4) \leq 0;$

2) $(x + 1)(2x - 7) > 0;$

3) $\frac{x - 8}{x - 1} > 0;$

4) $\frac{3x + 6}{x - 9} < 0;$

5) $\frac{2x - 1}{x + 2} \leq 0;$

6) $\frac{5x + 4}{x - 6} \geq 0.$

1)

Решим неравенство $(x - 3)(x + 4) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули левой части, решив уравнение $(x-3)(x+4)=0$. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

2. Отметим точки $x=-4$ и $x=3$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала для анализа знака: $(-\infty, -4)$, $(-4, 3)$ и $(3, \infty)$.

3. Определим знак выражения $(x-3)(x+4)$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -4)$, например при $x=-5$: $(-5-3)(-5+4) = (-8)(-1) = 8 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-4, 3)$, например при $x=0$: $(0-3)(0+4) = -12 < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(3, \infty)$, например при $x=4$: $(4-3)(4+4) = 8 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $\le$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю. Этому условию удовлетворяет промежуток, где стоит знак «-», включая его граничные точки.

Ответ: $x \in [-4, 3]$.

2)

Решим неравенство $(x + 1)(2x - 7) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули левой части: $(x+1)(2x-7)=0$. Корни: $x+1=0 \implies x_1=-1$ и $2x-7=0 \implies x_2=3.5$.

2. Отметим точки $x=-1$ и $x=3.5$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3.5)$ и $(3.5, \infty)$.

3. Определим знак выражения $(x+1)(2x-7)$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -1)$, например при $x=-2$: $(-2+1)(2(-2)-7) = (-1)(-11) = 11 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-1, 3.5)$, например при $x=0$: $(0+1)(2(0)-7) = -7 < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(3.5, \infty)$, например при $x=4$: $(4+1)(2(4)-7) = 5(1) = 5 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $>$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение положительно. Этому условию удовлетворяют промежутки со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3.5, \infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{x - 8}{x - 1} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-8=0 \implies x=8$. Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$.

2. Отметим точки $x=1$ и $x=8$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки будут выколотыми. Также, нуль знаменателя всегда является выколотой точкой. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 8)$ и $(8, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{x - 8}{x - 1}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, 1)$, например при $x=0$: $\frac{0-8}{0-1} = 8 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(1, 8)$, например при $x=2$: $\frac{2-8}{2-1} = -6 < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(8, \infty)$, например при $x=9$: $\frac{9-8}{9-1} = \frac{1}{8} > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $>$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение положительно. Этому условию удовлетворяют промежутки со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (8, \infty)$.

4)

Решим неравенство $\frac{3x + 6}{x - 9} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $3x+6=0 \implies 3x=-6 \implies x=-2$. Нуль знаменателя: $x-9=0 \implies x=9$.

2. Отметим точки $x=-2$ и $x=9$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое (<), обе точки будут выколотыми. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 9)$ и $(9, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{3x + 6}{x - 9}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x=-3$: $\frac{3(-3)+6}{-3-9} = \frac{-3}{-12} = \frac{1}{4} > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-2, 9)$, например при $x=0$: $\frac{3(0)+6}{0-9} = \frac{6}{-9} < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(9, \infty)$, например при $x=10$: $\frac{3(10)+6}{10-9} = \frac{36}{1} = 36 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства < означает, что мы ищем интервалы, где выражение отрицательно. Этому условию удовлетворяет промежуток со знаком «-».

Ответ: $x \in (-2, 9)$.

5)

Решим неравенство $\frac{2x - 1}{x + 2} \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $2x-1=0 \implies x=0.5$. Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$.

2. Отметим точки $x=-2$ и $x=0.5$ на числовой прямой. Точка $x=0.5$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-2$ (нуль знаменателя) будет выколотой, так как деление на ноль недопустимо. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0.5)$ и $(0.5, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{2x - 1}{x + 2}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x=-3$: $\frac{2(-3)-1}{-3+2} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-2, 0.5)$, например при $x=0$: $\frac{2(0)-1}{0+2} = -\frac{1}{2} < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(0.5, \infty)$, например при $x=1$: $\frac{2(1)-1}{1+2} = \frac{1}{3} > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $\le$ означает, что мы ищем интервал, где выражение отрицательно или равно нулю. Этому условию удовлетворяет промежуток со знаком «-». Граница $x=0.5$ включается, а $x=-2$ исключается.

Ответ: $x \in (-2, 0.5]$.

6)

Решим неравенство $\frac{5x + 4}{x - 6} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $5x+4=0 \implies 5x=-4 \implies x=-0.8$. Нуль знаменателя: $x-6=0 \implies x=6$.

2. Отметим точки $x=-0.8$ и $x=6$ на числовой прямой. Точка $x=-0.8$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=6$ (нуль знаменателя) будет выколотой. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -0.8)$, $(-0.8, 6)$ и $(6, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{5x + 4}{x - 6}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -0.8)$, например при $x=-1$: $\frac{5(-1)+4}{-1-6} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7} > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-0.8, 6)$, например при $x=0$: $\frac{5(0)+4}{0-6} = -\frac{4}{6} < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(6, \infty)$, например при $x=7$: $\frac{5(7)+4}{7-6} = \frac{39}{1} = 39 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $\ge$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Этому условию удовлетворяют промежутки со знаком «+». Граница $x=-0.8$ включается, а $x=6$ исключается.

Ответ: $x \in (-\infty, -0.8] \cup (6, \infty)$.