Номер 210, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

210. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств $ \begin{cases} x < 2, \\ x \le a. \end{cases} $

Для решения данной системы неравенств с параметром $a$ необходимо найти пересечение множеств решений каждого неравенства. Система выглядит следующим образом:

Первое неравенство $x < 2$ задает множество всех чисел, меньших 2, то есть интервал $x \in (-\infty, 2)$.

Второе неравенство $x \le a$ задает множество всех чисел, меньших или равных $a$, то есть интервал $x \in (-\infty, a]$.

Решением системы является пересечение этих двух интервалов: $(-\infty, 2) \cap (-\infty, a]$. Результат этого пересечения зависит от того, как значение параметра $a$ соотносится с числом 2. Проанализируем все возможные случаи.

Если $a < 2$

В этом случае значение $a$ меньше 2. На числовой прямой точка $a$ лежит левее точки 2. Мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x < 2$ и $x \le a$. Поскольку $a < 2$, любое число, которое меньше или равно $a$, будет автоматически и меньше 2. Следовательно, более строгим является условие $x \le a$. Пересечением множеств $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, a]$ будет множество $(-\infty, a]$.

Ответ: при $a < 2$ решением системы является $x \in (-\infty, a]$.

Если $a \ge 2$

В этом случае значение $a$ больше или равно 2. На числовой прямой точка $a$ лежит правее точки 2 или совпадает с ней. Мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x < 2$ и $x \le a$. Поскольку $2 \le a$, любое число, которое строго меньше 2, будет автоматически меньше или равно $a$. Следовательно, более строгим является условие $x < 2$. Пересечением множеств $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, a]$ будет множество $(-\infty, 2)$.

Ответ: при $a \ge 2$ решением системы является $x \in (-\infty, 2)$.