Номер 208, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

208. При каких значениях a не имеет решений система неравенств:

1) $\begin{cases} x > 4, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 1, \\ x \ge a? \end{cases}$

1) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > 4, \\ x < a \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение двух числовых промежутков: $x \in (4; +\infty)$ и $x \in (-\infty; a)$. Пересечением этих промежутков является интервал $(4; a)$. Система не будет иметь решений, если этот интервал пуст. Интервал является пустым множеством, если его левая граница больше или равна его правой границе. В данном случае это означает, что $4 \ge a$, или $a \le 4$.
Проверим граничное значение. Если $a=4$, система принимает вид: $$ \begin{cases} x > 4, \\ x < 4 \end{cases} $$ Очевидно, что нет такого числа $x$, которое одновременно больше и меньше 4. Следовательно, при $a=4$ решений нет. Если $a < 4$, то тем более нет такого $x$, которое больше 4 и одновременно меньше числа, которое меньше 4. Таким образом, система не имеет решений при $a \le 4$.
Ответ: $a \le 4$.

2) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \le 1, \\ x \ge a \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение двух числовых промежутков: $x \in (-\infty; 1]$ и $x \in [a; +\infty)$. Пересечением этих промежутков является отрезок $[a; 1]$. Система не будет иметь решений, если этот отрезок пуст. Отрезок является пустым множеством, если его левая граница строго больше его правой границы. В данном случае это означает, что $a > 1$.
Важно рассмотреть граничный случай. Если $a=1$, система принимает вид: $$ \begin{cases} x \le 1, \\ x \ge 1 \end{cases} $$ Эта система имеет единственное решение $x=1$. Поскольку в задаче требуется, чтобы система не имела решений, значение $a=1$ не подходит. Таким образом, система не имеет решений при $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.