Номер 201, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

201. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} -x < 2, \\ 2x > 7, \\ x < -4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - 1 < 2x + 2, \\ 2x + 1 > 8 - 5x, \\ 5x - 25 \le 0. \end{cases} $

1) Решим каждое неравенство данной системы по отдельности:

Первое неравенство: $-x < 2$. Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x > -2$.

Второе неравенство: $2x > 7$. Разделим обе части на 2: $x > \frac{7}{2}$, что равносильно $x > 3,5$.

Третье неравенство: $x < -4$. Это неравенство уже решено относительно $x$.

Теперь необходимо найти пересечение множеств решений всех трех неравенств, то есть найти такие значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $$ \begin{cases} x > -2 \\ x > 3,5 \\ x < -4 \end{cases} $$

Из первых двух неравенств ($x > -2$ и $x > 3,5$) следует более сильное условие $x > 3,5$.

Таким образом, система сводится к двум неравенствам: $$ \begin{cases} x > 3,5 \\ x < -4 \end{cases} $$

На числовой оси эти два множества не пересекаются. Не существует числа, которое было бы одновременно больше 3,5 и меньше -4. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим каждое неравенство данной системы по отдельности:

Первое неравенство: $3x - 1 < 2x + 2$. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$3x - 2x < 2 + 1$

$x < 3$

Второе неравенство: $2x + 1 > 8 - 5x$. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$2x + 5x > 8 - 1$

$7x > 7$

Разделим обе части на 7: $x > 1$.

Третье неравенство: $5x - 25 \le 0$. Перенесем константу в правую часть:

$5x \le 25$

Разделим обе части на 5: $x \le 5$.

Теперь найдем пересечение множеств решений всех трех неравенств, то есть найти такие значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $$ \begin{cases} x < 3 \\ x > 1 \\ x \le 5 \end{cases} $$

Объединяя первые два неравенства ($x < 3$ и $x > 1$), получаем двойное неравенство: $1 < x < 3$.

Теперь нужно учесть третье условие: $x \le 5$. Все значения $x$ из интервала $(1; 3)$ меньше 3, а значит, они автоматически меньше или равны 5. Следовательно, пересечение интервала $(1; 3)$ и множества $(-\infty; 5]$ является сам интервал $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.