Номер 205, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

205. Решите неравенство:

1) $|x - 2| \le 3,6;$

2) $|2x + 3| < 5;$

3) $|x + 3| > 9;$

4) $|7 - 3x| \ge 1;$

5) $|x + 3| + 2x \ge 6;$

6) $|x - 4| - 6x < 15.$

1)

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применив это правило к неравенству $|x - 2| \le 3,6$, получаем:

$-3,6 \le x - 2 \le 3,6$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-3,6 + 2 \le x - 2 + 2 \le 3,6 + 2$

$-1,6 \le x \le 5,6$

Ответ: $[-1,6; 5,6]$

2)

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применив это правило к неравенству $|2x + 3| < 5$, получаем:

$-5 < 2x + 3 < 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 < 2x < 5 - 3$

$-8 < 2x < 2$

Разделим все части на 2:

$-4 < x < 1$

Ответ: $(-4; 1)$

3)

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Для неравенства $|x + 3| > 9$ получаем совокупность:

$x + 3 > 9$ или $x + 3 < -9$

Решим первое неравенство:

$x > 9 - 3$

$x > 6$

Решим второе неравенство:

$x < -9 - 3$

$x < -12$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -12) \cup (6; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -12) \cup (6; \infty)$

4)

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Для неравенства $|7 - 3x| \ge 1$ получаем совокупность:

$7 - 3x \ge 1$ или $7 - 3x \le -1$

Решим первое неравенство:

$-3x \ge 1 - 7$

$-3x \ge -6$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 2$

Решим второе неравенство:

$-3x \le -1 - 7$

$-3x \le -8$

$x \ge \frac{8}{3}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; 2] \cup [\frac{8}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [\frac{8}{3}; +\infty)$

5)

Для решения неравенства $|x + 3| + 2x \ge 6$ раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Неравенство принимает вид:

$(x + 3) + 2x \ge 6$

$3x + 3 \ge 6$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Пересекая решение $x \ge 1$ с условием случая $x \ge -3$, получаем $x \ge 1$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3)$. Неравенство принимает вид:

$-(x + 3) + 2x \ge 6$

$-x - 3 + 2x \ge 6$

$x - 3 \ge 6$

$x \ge 9$

Пересекая решение $x \ge 9$ с условием случая $x < -3$, получаем пустое множество, так как нет чисел, удовлетворяющих обоим условиям одновременно.

Общее решение является объединением решений обоих случаев: $[1; +\infty) \cup \emptyset = [1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$

6)

Для решения неравенства $|x - 4| - 6x < 15$ раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Неравенство принимает вид:

$(x - 4) - 6x < 15$

$-5x - 4 < 15$

$-5x < 19$

$x > -\frac{19}{5}$ или $x > -3,8$

Пересекая решение $x > -3,8$ с условием случая $x \ge 4$, получаем $x \ge 4$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4)$. Неравенство принимает вид:

$-(x - 4) - 6x < 15$

$-x + 4 - 6x < 15$

$-7x + 4 < 15$

$-7x < 11$

$x > -\frac{11}{7}$

Пересекая решение $x > -\frac{11}{7}$ с условием случая $x < 4$, получаем $-\frac{11}{7} < x < 4$.

Общее решение является объединением решений обоих случаев: $(-\frac{11}{7}; 4) \cup [4; +\infty) = (-\frac{11}{7}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{11}{7}; +\infty)$