Страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

202. Одна сторона треугольника равна 4 см, а сумма двух других – 8 см. Найдите неизвестные стороны треугольника, если длина каждой из них равна целому числу сантиметров.

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, одна из сторон равна 4 см. Пусть $a = 4$ см.

Сумма двух других сторон, $b$ и $c$, равна 8 см. Следовательно, $b + c = 8$.

Также дано, что длины сторон $b$ и $c$ являются целыми числами в сантиметрах.

Для того чтобы треугольник с заданными сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника. Это означает, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть строго больше длины третьей стороны. Запишем систему неравенств:

$a + b > c$
$a + c > b$
$b + c > a$

Подставим известные значения в эти неравенства.

Начнем с третьего неравенства: $b + c > a$.
Поскольку $b + c = 8$ и $a = 4$, получаем $8 > 4$. Это неравенство всегда верно.

Теперь рассмотрим первые два неравенства. Из соотношения $b + c = 8$ выразим одну переменную через другую, например, $c = 8 - b$.

Подставим $a=4$ и $c = 8 - b$ в первое неравенство:
$a + b > c$
$4 + b > 8 - b$
$2b > 4$
$b > 2$

Теперь подставим те же значения во второе неравенство:
$a + c > b$
$4 + (8 - b) > b$
$12 - b > b$
$12 > 2b$
$6 > b$

Таким образом, мы получили, что длина стороны $b$ должна удовлетворять двойному неравенству $2 < b < 6$.

Так как по условию $b$ — это целое число, то возможными значениями для $b$ могут быть 3, 4 и 5.

Рассмотрим каждый из этих вариантов:

• Если $b = 3$ см, то $c = 8 - 3 = 5$ см. Получаем стороны 4 см, 3 см и 5 см. Все неравенства треугольника выполняются ($4+3>5$, $4+5>3$, $3+5>4$). Этот вариант подходит.
• Если $b = 4$ см, то $c = 8 - 4 = 4$ см. Получаем стороны 4 см, 4 см и 4 см (равносторонний треугольник). Неравенство $4+4>4$ выполняется. Этот вариант подходит.
• Если $b = 5$ см, то $c = 8 - 5 = 3$ см. Этот вариант дает тот же набор сторон, что и первый: 4 см, 5 см и 3 см.

Следовательно, существует два возможных набора длин для двух неизвестных сторон.

Ответ: Неизвестные стороны треугольника равны 3 см и 5 см, или 4 см и 4 см.

203. Решите неравенство:

1) $(x - 3)(x + 4) \leq 0;$

2) $(x + 1)(2x - 7) > 0;$

3) $\frac{x - 8}{x - 1} > 0;$

4) $\frac{3x + 6}{x - 9} < 0;$

5) $\frac{2x - 1}{x + 2} \leq 0;$

6) $\frac{5x + 4}{x - 6} \geq 0.$

1)

Решим неравенство $(x - 3)(x + 4) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули левой части, решив уравнение $(x-3)(x+4)=0$. Корни уравнения: $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

2. Отметим точки $x=-4$ и $x=3$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Эти точки разбивают прямую на три интервала для анализа знака: $(-\infty, -4)$, $(-4, 3)$ и $(3, \infty)$.

3. Определим знак выражения $(x-3)(x+4)$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -4)$, например при $x=-5$: $(-5-3)(-5+4) = (-8)(-1) = 8 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-4, 3)$, например при $x=0$: $(0-3)(0+4) = -12 < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(3, \infty)$, например при $x=4$: $(4-3)(4+4) = 8 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $\le$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение отрицательно или равно нулю. Этому условию удовлетворяет промежуток, где стоит знак «-», включая его граничные точки.

Ответ: $x \in [-4, 3]$.

2)

Решим неравенство $(x + 1)(2x - 7) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули левой части: $(x+1)(2x-7)=0$. Корни: $x+1=0 \implies x_1=-1$ и $2x-7=0 \implies x_2=3.5$.

2. Отметим точки $x=-1$ и $x=3.5$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3.5)$ и $(3.5, \infty)$.

3. Определим знак выражения $(x+1)(2x-7)$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -1)$, например при $x=-2$: $(-2+1)(2(-2)-7) = (-1)(-11) = 11 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-1, 3.5)$, например при $x=0$: $(0+1)(2(0)-7) = -7 < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(3.5, \infty)$, например при $x=4$: $(4+1)(2(4)-7) = 5(1) = 5 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $>$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение положительно. Этому условию удовлетворяют промежутки со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3.5, \infty)$.

3)

Решим неравенство $\frac{x - 8}{x - 1} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-8=0 \implies x=8$. Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$.

2. Отметим точки $x=1$ и $x=8$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки будут выколотыми. Также, нуль знаменателя всегда является выколотой точкой. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, 1)$, $(1, 8)$ и $(8, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{x - 8}{x - 1}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, 1)$, например при $x=0$: $\frac{0-8}{0-1} = 8 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(1, 8)$, например при $x=2$: $\frac{2-8}{2-1} = -6 < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(8, \infty)$, например при $x=9$: $\frac{9-8}{9-1} = \frac{1}{8} > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $>$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение положительно. Этому условию удовлетворяют промежутки со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (8, \infty)$.

4)

Решим неравенство $\frac{3x + 6}{x - 9} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $3x+6=0 \implies 3x=-6 \implies x=-2$. Нуль знаменателя: $x-9=0 \implies x=9$.

2. Отметим точки $x=-2$ и $x=9$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое (<), обе точки будут выколотыми. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 9)$ и $(9, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{3x + 6}{x - 9}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x=-3$: $\frac{3(-3)+6}{-3-9} = \frac{-3}{-12} = \frac{1}{4} > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-2, 9)$, например при $x=0$: $\frac{3(0)+6}{0-9} = \frac{6}{-9} < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(9, \infty)$, например при $x=10$: $\frac{3(10)+6}{10-9} = \frac{36}{1} = 36 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства < означает, что мы ищем интервалы, где выражение отрицательно. Этому условию удовлетворяет промежуток со знаком «-».

Ответ: $x \in (-2, 9)$.

5)

Решим неравенство $\frac{2x - 1}{x + 2} \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $2x-1=0 \implies x=0.5$. Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$.

2. Отметим точки $x=-2$ и $x=0.5$ на числовой прямой. Точка $x=0.5$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-2$ (нуль знаменателя) будет выколотой, так как деление на ноль недопустимо. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0.5)$ и $(0.5, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{2x - 1}{x + 2}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -2)$, например при $x=-3$: $\frac{2(-3)-1}{-3+2} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-2, 0.5)$, например при $x=0$: $\frac{2(0)-1}{0+2} = -\frac{1}{2} < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(0.5, \infty)$, например при $x=1$: $\frac{2(1)-1}{1+2} = \frac{1}{3} > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $\le$ означает, что мы ищем интервал, где выражение отрицательно или равно нулю. Этому условию удовлетворяет промежуток со знаком «-». Граница $x=0.5$ включается, а $x=-2$ исключается.

Ответ: $x \in (-2, 0.5]$.

6)

Решим неравенство $\frac{5x + 4}{x - 6} \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $5x+4=0 \implies 5x=-4 \implies x=-0.8$. Нуль знаменателя: $x-6=0 \implies x=6$.

2. Отметим точки $x=-0.8$ и $x=6$ на числовой прямой. Точка $x=-0.8$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=6$ (нуль знаменателя) будет выколотой. Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -0.8)$, $(-0.8, 6)$ и $(6, \infty)$.

3. Определим знак выражения $\frac{5x + 4}{x - 6}$ в каждом интервале:

• На интервале $(-\infty, -0.8)$, например при $x=-1$: $\frac{5(-1)+4}{-1-6} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7} > 0$ (знак «+»).
• На интервале $(-0.8, 6)$, например при $x=0$: $\frac{5(0)+4}{0-6} = -\frac{4}{6} < 0$ (знак «-»).
• На интервале $(6, \infty)$, например при $x=7$: $\frac{5(7)+4}{7-6} = \frac{39}{1} = 39 > 0$ (знак «+»).

4. Знак неравенства $\ge$ означает, что мы ищем интервалы, где выражение положительно или равно нулю. Этому условию удовлетворяют промежутки со знаком «+». Граница $x=-0.8$ включается, а $x=6$ исключается.

Ответ: $x \in (-\infty, -0.8] \cup (6, \infty)$.

204. Решите неравенство:

1) $(14 - 7x)(x + 3) > 0;$

2) $\frac{x - 8}{3x - 12} > 0;$

3) $\frac{5x - 6}{x + 9} \geq 0;$

4) $\frac{4x + 1}{x - 10} \leq 0.$

Для решения данных неравенств будем использовать метод интервалов.

1) $(14 - 7x)(x + 3) > 0$

Сначала найдем корни выражения, приравняв каждый множитель к нулю:

$14 - 7x = 0 \implies 7x = 14 \implies x = 2$

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Отметим эти точки (-3 и 2) на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $(14 - 7(-4))(-4 + 3) = (14+28)(-1) = 42 \cdot (-1) = -42 < 0$. Знак "минус".
• При $-3 < x < 2$ (например, $x=0$): $(14 - 7(0))(0 + 3) = 14 \cdot 3 = 42 > 0$. Знак "плюс".
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(14 - 7(3))(3 + 3) = (14-21)(6) = -7 \cdot 6 = -42 < 0$. Знак "минус".

Нам нужны значения, где выражение больше нуля, то есть интервал со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-3, 2)$

2) $\frac{x-8}{3x-12} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.

Нуль знаменателя: $3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 4$.

Отметим точки 4 и 8 на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=4$ к тому же обращает знаменатель в ноль. Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty, 4)$, $(4, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0-8}{3(0)-12} = \frac{-8}{-12} > 0$. Знак "плюс".
• При $4 < x < 8$ (например, $x=5$): $\frac{5-8}{3(5)-12} = \frac{-3}{3} < 0$. Знак "минус".
• При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{10-8}{3(10)-12} = \frac{2}{18} > 0$. Знак "плюс".

Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (8, \infty)$

3) $\frac{5x-6}{x+9} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x - 6 = 0 \implies 5x = 6 \implies x = \frac{6}{5} = 1.2$.

Нуль знаменателя: $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq -9$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=1.2$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=-9$ будет выколотой. Получаем интервалы: $(-\infty, -9)$, $(-9, 1.2]$ и $[1.2, \infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < -9$ (например, $x=-10$): $\frac{5(-10)-6}{-10+9} = \frac{-56}{-1} > 0$. Знак "плюс".
• При $-9 < x < 1.2$ (например, $x=0$): $\frac{5(0)-6}{0+9} = \frac{-6}{9} < 0$. Знак "минус".
• При $x > 1.2$ (например, $x=2$): $\frac{5(2)-6}{2+9} = \frac{4}{11} > 0$. Знак "плюс".

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком "плюс" и включенная точка $x=1.2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup [1.2, \infty)$

4) $\frac{4x+1}{x-10} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -\frac{1}{4} = -0.25$.

Нуль знаменателя: $x - 10 = 0 \implies x = 10$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 10$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-0.25$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=10$ будет выколотой. Получаем интервалы: $(-\infty, -0.25]$, $[-0.25, 10)$ и $(10, \infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < -0.25$ (например, $x=-1$): $\frac{4(-1)+1}{-1-10} = \frac{-3}{-11} > 0$. Знак "плюс".
• При $-0.25 < x < 10$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)+1}{0-10} = \frac{1}{-10} < 0$. Знак "минус".
• При $x > 10$ (например, $x=11$): $\frac{4(11)+1}{11-10} = \frac{45}{1} > 0$. Знак "плюс".

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком "минус" и включенная точка $x=-0.25$.

Ответ: $x \in [-0.25, 10)$

205. Решите неравенство:

1) $|x - 2| \le 3,6;$

2) $|2x + 3| < 5;$

3) $|x + 3| > 9;$

4) $|7 - 3x| \ge 1;$

5) $|x + 3| + 2x \ge 6;$

6) $|x - 4| - 6x < 15.$

1)

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применив это правило к неравенству $|x - 2| \le 3,6$, получаем:

$-3,6 \le x - 2 \le 3,6$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-3,6 + 2 \le x - 2 + 2 \le 3,6 + 2$

$-1,6 \le x \le 5,6$

Ответ: $[-1,6; 5,6]$

2)

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применив это правило к неравенству $|2x + 3| < 5$, получаем:

$-5 < 2x + 3 < 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 < 2x < 5 - 3$

$-8 < 2x < 2$

Разделим все части на 2:

$-4 < x < 1$

Ответ: $(-4; 1)$

3)

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Для неравенства $|x + 3| > 9$ получаем совокупность:

$x + 3 > 9$ или $x + 3 < -9$

Решим первое неравенство:

$x > 9 - 3$

$x > 6$

Решим второе неравенство:

$x < -9 - 3$

$x < -12$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; -12) \cup (6; \infty)$.

Ответ: $(-\infty; -12) \cup (6; \infty)$

4)

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Для неравенства $|7 - 3x| \ge 1$ получаем совокупность:

$7 - 3x \ge 1$ или $7 - 3x \le -1$

Решим первое неравенство:

$-3x \ge 1 - 7$

$-3x \ge -6$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 2$

Решим второе неравенство:

$-3x \le -1 - 7$

$-3x \le -8$

$x \ge \frac{8}{3}$

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty; 2] \cup [\frac{8}{3}; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 2] \cup [\frac{8}{3}; +\infty)$

5)

Для решения неравенства $|x + 3| + 2x \ge 6$ раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Случай 1: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Неравенство принимает вид:

$(x + 3) + 2x \ge 6$

$3x + 3 \ge 6$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

Пересекая решение $x \ge 1$ с условием случая $x \ge -3$, получаем $x \ge 1$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3)$. Неравенство принимает вид:

$-(x + 3) + 2x \ge 6$

$-x - 3 + 2x \ge 6$

$x - 3 \ge 6$

$x \ge 9$

Пересекая решение $x \ge 9$ с условием случая $x < -3$, получаем пустое множество, так как нет чисел, удовлетворяющих обоим условиям одновременно.

Общее решение является объединением решений обоих случаев: $[1; +\infty) \cup \emptyset = [1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$

6)

Для решения неравенства $|x - 4| - 6x < 15$ раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Неравенство принимает вид:

$(x - 4) - 6x < 15$

$-5x - 4 < 15$

$-5x < 19$

$x > -\frac{19}{5}$ или $x > -3,8$

Пересекая решение $x > -3,8$ с условием случая $x \ge 4$, получаем $x \ge 4$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4)$. Неравенство принимает вид:

$-(x - 4) - 6x < 15$

$-x + 4 - 6x < 15$

$-7x + 4 < 15$

$-7x < 11$

$x > -\frac{11}{7}$

Пересекая решение $x > -\frac{11}{7}$ с условием случая $x < 4$, получаем $-\frac{11}{7} < x < 4$.

Общее решение является объединением решений обоих случаев: $(-\frac{11}{7}; 4) \cup [4; +\infty) = (-\frac{11}{7}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{11}{7}; +\infty)$

206. Решите неравенство:

1) $|x - 6| \ge 2,4;$

2) $|5x + 8| \le 2;$

3) $|x + 5| - 3x > 4;$

4) $|x - 1| + x \le 3.$

1) $|x - 6| \geq 2,4$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

В данном случае неравенство $|x - 6| \geq 2,4$ распадается на два случая:

$x - 6 \ge 2,4$ или $x - 6 \le -2,4$

Решаем первое неравенство:

$x \ge 2,4 + 6$

$x \ge 8,4$

Решаем второе неравенство:

$x \le -2,4 + 6$

$x \le 3,6$

Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 3,6] \cup [8,4; +\infty)$.

2) $|5x + 8| \leq 2$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству: $-a \le f(x) \le a$.

Применяем это правило к неравенству $|5x + 8| \leq 2$:

$-2 \le 5x + 8 \le 2$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-2 - 8 \le 5x \le 2 - 8$

$-10 \le 5x \le -6$

Разделим все части неравенства на 5:

$\frac{-10}{5} \le x \le \frac{-6}{5}$

$-2 \le x \le -1,2$

Ответ: $x \in [-2; -1,2]$.

3) $|x + 5| - 3x > 4$

Для решения этого неравенства необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x + 5 = 0 \implies x = -5$.

Случай 1: $x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

В этом случае $|x+5| = x+5$. Неравенство принимает вид:

$x + 5 - 3x > 4$

$-2x + 5 > 4$

$-2x > -1$

При делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{2}$

$x < 0,5$

Учитывая исходное условие для этого случая ($x \ge -5$), получаем решение: $x \in [-5; 0,5)$.

Случай 2: $x + 5 < 0$, то есть $x < -5$.

В этом случае $|x+5| = -(x+5) = -x-5$. Неравенство принимает вид:

$-(x + 5) - 3x > 4$

$-x - 5 - 3x > 4$

$-4x - 5 > 4$

$-4x > 9$

$x < -\frac{9}{4}$

$x < -2,25$

Учитывая исходное условие ($x < -5$), пересечение этих условий дает решение: $x \in (-\infty; -5)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(-\infty; -5) \cup [-5; 0,5)$.

Итоговое решение: $x \in (-\infty; 0,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

4) $|x - 1| + x \leq 3$

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:

$(x - 1) + x \le 3$

$2x - 1 \le 3$

$2x \le 4$

$x \le 2$

Учитывая исходное условие для этого случая ($x \ge 1$), получаем решение: $x \in [1; 2]$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x-1| = -(x-1) = -x+1$. Неравенство принимает вид:

$(-x + 1) + x \le 3$

$1 \le 3$

Это неравенство верно при любых значениях $x$. Следовательно, решением в этом случае является весь рассматриваемый промежуток $x < 1$, то есть $x \in (-\infty; 1)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(-\infty; 1) \cup [1; 2]$.

Итоговое решение: $x \in (-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

207. При каких значениях a имеет хотя бы одно решение система неравенств:

1) $\begin{cases} x \geq 3, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq a? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x < a. \end{cases} $
Для того чтобы данная система имела хотя бы одно решение, необходимо, чтобы множество решений первого неравенства и множество решений второго неравенства имели непустое пересечение.
Первое неравенство $x \ge 3$ задает числовой промежуток $[3, +\infty)$.
Второе неравенство $x < a$ задает числовой промежуток $(-\infty, a)$.
Пересечением этих двух промежутков является интервал $[3, a)$.
Этот интервал будет содержать хотя бы одно число (т.е. будет непустым) только в том случае, если его правая граница $a$ будет строго больше левой границы $3$.
Таким образом, должно выполняться условие $a > 3$.
Если $a \le 3$, то пересечение множеств будет пустым, и система решений иметь не будет.
Ответ: $a > 3$.

2) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x \le 3, \\ x \ge a^2. \end{cases} $
Аналогично первому пункту, система будет иметь хотя бы одно решение, если пересечение множеств решений неравенств не является пустым.
Первое неравенство $x \le 3$ задает числовой промежуток $(-\infty, 3]$.
Второе неравенство $x \ge a^2$ задает числовой промежуток $[a^2, +\infty)$.
Пересечением этих двух промежутков является отрезок $[a^2, 3]$.
Этот отрезок будет содержать хотя бы одно число (включая случай, когда он вырождается в точку) только в том случае, если его левая граница $a^2$ будет меньше либо равна правой границе $3$.
Таким образом, должно выполняться условие $a^2 \le 3$.
Решим это квадратное неравенство относительно $a$:
$a^2 - 3 \le 0$
$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) \le 0$
Решением этого неравенства является промежуток $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Ответ: $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$.

208. При каких значениях a не имеет решений система неравенств:

1) $\begin{cases} x > 4, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \le 1, \\ x \ge a? \end{cases}$

1) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x > 4, \\ x < a \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение двух числовых промежутков: $x \in (4; +\infty)$ и $x \in (-\infty; a)$. Пересечением этих промежутков является интервал $(4; a)$. Система не будет иметь решений, если этот интервал пуст. Интервал является пустым множеством, если его левая граница больше или равна его правой границе. В данном случае это означает, что $4 \ge a$, или $a \le 4$.
Проверим граничное значение. Если $a=4$, система принимает вид: $$ \begin{cases} x > 4, \\ x < 4 \end{cases} $$ Очевидно, что нет такого числа $x$, которое одновременно больше и меньше 4. Следовательно, при $a=4$ решений нет. Если $a < 4$, то тем более нет такого $x$, которое больше 4 и одновременно меньше числа, которое меньше 4. Таким образом, система не имеет решений при $a \le 4$.
Ответ: $a \le 4$.

2) Дана система неравенств: $$ \begin{cases} x \le 1, \\ x \ge a \end{cases} $$ Решением этой системы является пересечение двух числовых промежутков: $x \in (-\infty; 1]$ и $x \in [a; +\infty)$. Пересечением этих промежутков является отрезок $[a; 1]$. Система не будет иметь решений, если этот отрезок пуст. Отрезок является пустым множеством, если его левая граница строго больше его правой границы. В данном случае это означает, что $a > 1$.
Важно рассмотреть граничный случай. Если $a=1$, система принимает вид: $$ \begin{cases} x \le 1, \\ x \ge 1 \end{cases} $$ Эта система имеет единственное решение $x=1$. Поскольку в задаче требуется, чтобы система не имела решений, значение $a=1$ не подходит. Таким образом, система не имеет решений при $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.

209. При каких значениях $a$ множеством решений системы неравенств

$\begin{cases} x > -1 \\ x \ge a \end{cases}$

является промежуток:

1) $(-1; +\infty);$

2) $[1; +\infty)?$

Дана система неравенств: $ \begin{cases} x > -1, \\ x \ge a \end{cases} $ Решением первого неравенства является множество $x \in (-1; +\infty)$. Решением второго неравенства является множество $x \in [a; +\infty)$. Решением системы является пересечение этих двух множеств: $(-1; +\infty) \cap [a; +\infty)$. Вид этого пересечения зависит от взаимного расположения точки $a$ относительно точки $-1$ на числовой оси.

1) При каких значениях a множеством решений является промежуток $(-1; +\infty)$?

Нам необходимо найти такие значения $a$, при которых пересечение множеств $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$ будет равно $(-1; +\infty)$. Это происходит в том случае, когда второе множество $[a; +\infty)$ полностью включает в себя первое множество $(-1; +\infty)$, то есть когда условие $x \ge a$ является менее строгим, чем $x > -1$ для всех $x$ из искомого интервала.

Рассмотрим различные случаи расположения $a$ относительно $-1$:

• Если $a > -1$, то для решения системы необходимо, чтобы $x$ был одновременно больше $-1$ и больше или равен $a$. Так как $a$ находится правее $-1$, более строгим является условие $x \ge a$. В этом случае решением будет промежуток $[a; +\infty)$, что не соответствует требуемому $(-1; +\infty)$.
• Если $a = -1$, система выглядит так: $ \begin{cases} x > -1, \\ x \ge -1 \end{cases} $. Пересечением этих условий является более строгое неравенство $x > -1$, то есть промежуток $(-1; +\infty)$. Это соответствует требованию задачи.
• Если $a < -1$, то любое число $x$, которое больше $-1$, автоматически будет больше и $a$. Таким образом, второе неравенство $x \ge a$ становится избыточным, и решением системы является решение первого неравенства, то есть $(-1; +\infty)$. Это также соответствует требованию задачи.

Объединяя два последних случая, получаем, что для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $a$ было меньше или равно $-1$.
Ответ: $a \le -1$.

2) При каких значениях a множеством решений является промежуток $[1; +\infty)$?

Теперь нам необходимо найти такие значения $a$, при которых пересечение множеств $(-1; +\infty)$ и $[a; +\infty)$ будет равно $[1; +\infty)$.

Итоговый промежуток $[1; +\infty)$ является замкнутым слева (включает число 1). Такая замкнутая граница может появиться только из-за неравенства $x \ge a$, так как неравенство $x > -1$ дает открытую границу.

Как мы установили в первом пункте, если $a \le -1$, то решением системы будет $(-1; +\infty)$, что нам не подходит. Следовательно, мы должны рассматривать случай, когда $a > -1$. В этом случае, как мы уже выяснили, решением системы является промежуток $[a; +\infty)$.

Чтобы это решение совпадало с требуемым промежутком $[1; +\infty)$, необходимо выполнение равенства: $ [a; +\infty) = [1; +\infty) $ Данное равенство множеств выполняется тогда и только тогда, когда их начальные точки совпадают, то есть $a = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $a=1$ нашему предположению $a > -1$. Да, $1 > -1$, поэтому условие выполняется.
Ответ: $a = 1$.

210. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств $ \begin{cases} x < 2, \\ x \le a. \end{cases} $

Для решения данной системы неравенств с параметром $a$ необходимо найти пересечение множеств решений каждого неравенства. Система выглядит следующим образом:

Первое неравенство $x < 2$ задает множество всех чисел, меньших 2, то есть интервал $x \in (-\infty, 2)$.

Второе неравенство $x \le a$ задает множество всех чисел, меньших или равных $a$, то есть интервал $x \in (-\infty, a]$.

Решением системы является пересечение этих двух интервалов: $(-\infty, 2) \cap (-\infty, a]$. Результат этого пересечения зависит от того, как значение параметра $a$ соотносится с числом 2. Проанализируем все возможные случаи.

Если $a < 2$

В этом случае значение $a$ меньше 2. На числовой прямой точка $a$ лежит левее точки 2. Мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x < 2$ и $x \le a$. Поскольку $a < 2$, любое число, которое меньше или равно $a$, будет автоматически и меньше 2. Следовательно, более строгим является условие $x \le a$. Пересечением множеств $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, a]$ будет множество $(-\infty, a]$.

Ответ: при $a < 2$ решением системы является $x \in (-\infty, a]$.

Если $a \ge 2$

В этом случае значение $a$ больше или равно 2. На числовой прямой точка $a$ лежит правее точки 2 или совпадает с ней. Мы ищем значения $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям $x < 2$ и $x \le a$. Поскольку $2 \le a$, любое число, которое строго меньше 2, будет автоматически меньше или равно $a$. Следовательно, более строгим является условие $x < 2$. Пересечением множеств $(-\infty, 2)$ и $(-\infty, a]$ будет множество $(-\infty, 2)$.

Ответ: при $a \ge 2$ решением системы является $x \in (-\infty, 2)$.

211. Для каждого значения a решите систему неравенств $ \begin{cases} x < -3, \\ x > a. \end{cases} $

Для решения системы неравенств $$\begin{cases}x < -3 \\x > a\end{cases}$$необходимо найти пересечение множеств решений каждого неравенства. Решение первого неравенства $x < -3$ — это интервал $(-\infty; -3)$. Решение второго неравенства $x > a$ — это интервал $(a; +\infty)$. Решение системы является пересечением этих интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cap (a; +\infty)$.

Вид решения зависит от взаимного расположения точек $a$ и $-3$ на числовой прямой. Рассмотрим все возможные случаи.

При $a < -3$

Если значение параметра $a$ меньше $-3$, то на числовой оси точка $a$ расположена левее точки $-3$. В этом случае интервалы $(-\infty; -3)$ и $(a; +\infty)$ пересекаются. Их общая часть — это все числа, которые одновременно больше $a$ и меньше $-3$. Следовательно, решением системы является интервал $(a; -3)$.

При $a \ge -3$

Этот случай объединяет две ситуации: $a = -3$ и $a > -3$.

Если $a = -3$, система принимает вид:$$\begin{cases}x < -3 \\x > -3\end{cases}$$Не существует числа $x$, которое было бы одновременно строго меньше и строго больше $-3$. Таким образом, система не имеет решений.

Если $a > -3$, точка $a$ расположена на числовой оси правее точки $-3$. Интервалы $(-\infty; -3)$ и $(a; +\infty)$ не имеют общих точек, их пересечение является пустым множеством. Система также не имеет решений.

Таким образом, для любого значения $a$, удовлетворяющего условию $a \ge -3$, система не имеет решений.

Ответ:
при $a < -3$ решением является $x \in (a; -3)$;
при $a \ge -3$ решений нет, $x \in \emptyset$.

212. При каких значениях $a$ множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x \ge 7, \\ x < a \end{cases}$ содержит ровно четыре целых числа?

Решением данной системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Первое неравенство $x \ge 7$ задает множество $[7; +\infty)$.

Второе неравенство $x < a$ задает множество $(-\infty; a)$.

Пересечением этих множеств является числовой промежуток $[7; a)$.

По условию, этот промежуток должен содержать ровно четыре целых числа. Поскольку левая граница промежутка, число 7, является целым и входит в промежуток (неравенство нестрогое), то первым целым решением будет 7.

Найдем четыре последовательных целых числа, начиная с 7. Это числа: 7, 8, 9, 10.

Эти четыре числа должны входить в промежуток $[7; a)$, а следующее за ними целое число, 11, входить в него не должно.

Чтобы число 10 входило в промежуток $[7; a)$, оно должно удовлетворять условию $x < a$, то есть должно выполняться неравенство $10 < a$.

Чтобы число 11 не входило в промежуток $[7; a)$, оно не должно удовлетворять условию $x < a$, то есть должно выполняться неравенство $11 \ge a$, или $a \le 11$.

Таким образом, параметр $a$ должен удовлетворять системе из двух условий: $$ \begin{cases} a > 10 \\ a \le 11 \end{cases} $$

Решением этой системы является полуинтервал $(10; 11]$.

Проверим:

• Если $a=10.1$ (удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 10.1)$. Целые решения: 7, 8, 9, 10. Их ровно четыре.
• Если $a=11$ (удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 11)$. Целые решения: 7, 8, 9, 10. Их ровно четыре.
• Если $a=10$ (не удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 10)$. Целые решения: 7, 8, 9. Их три.
• Если $a=11.1$ (не удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 11.1)$. Целые решения: 7, 8, 9, 10, 11. Их пять.

Следовательно, найденный промежуток для $a$ является верным.

Ответ: $a \in (10; 11]$.