Номер 204, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

204. Решите неравенство:

1) $(14 - 7x)(x + 3) > 0;$

2) $\frac{x - 8}{3x - 12} > 0;$

3) $\frac{5x - 6}{x + 9} \geq 0;$

4) $\frac{4x + 1}{x - 10} \leq 0.$

Для решения данных неравенств будем использовать метод интервалов.

1) $(14 - 7x)(x + 3) > 0$

Сначала найдем корни выражения, приравняв каждый множитель к нулю:

$14 - 7x = 0 \implies 7x = 14 \implies x = 2$

$x + 3 = 0 \implies x = -3$

Отметим эти точки (-3 и 2) на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки делят прямую на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале, подставив любое значение из этого интервала:

• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $(14 - 7(-4))(-4 + 3) = (14+28)(-1) = 42 \cdot (-1) = -42 < 0$. Знак "минус".
• При $-3 < x < 2$ (например, $x=0$): $(14 - 7(0))(0 + 3) = 14 \cdot 3 = 42 > 0$. Знак "плюс".
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $(14 - 7(3))(3 + 3) = (14-21)(6) = -7 \cdot 6 = -42 < 0$. Знак "минус".

Нам нужны значения, где выражение больше нуля, то есть интервал со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-3, 2)$

2) $\frac{x-8}{3x-12} > 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 8 = 0 \implies x = 8$.

Нуль знаменателя: $3x - 12 = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 4$.

Отметим точки 4 и 8 на числовой прямой. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а $x=4$ к тому же обращает знаменатель в ноль. Точки делят прямую на интервалы: $(-\infty, 4)$, $(4, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{0-8}{3(0)-12} = \frac{-8}{-12} > 0$. Знак "плюс".
• При $4 < x < 8$ (например, $x=5$): $\frac{5-8}{3(5)-12} = \frac{-3}{3} < 0$. Знак "минус".
• При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{10-8}{3(10)-12} = \frac{2}{18} > 0$. Знак "плюс".

Нам нужны интервалы со знаком "плюс".

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (8, \infty)$

3) $\frac{5x-6}{x+9} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x - 6 = 0 \implies 5x = 6 \implies x = \frac{6}{5} = 1.2$.

Нуль знаменателя: $x + 9 = 0 \implies x = -9$. Так как знаменатель не может быть равен нулю, $x \neq -9$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=1.2$ будет закрашенной (включенной), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=-9$ будет выколотой. Получаем интервалы: $(-\infty, -9)$, $(-9, 1.2]$ и $[1.2, \infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < -9$ (например, $x=-10$): $\frac{5(-10)-6}{-10+9} = \frac{-56}{-1} > 0$. Знак "плюс".
• При $-9 < x < 1.2$ (например, $x=0$): $\frac{5(0)-6}{0+9} = \frac{-6}{9} < 0$. Знак "минус".
• При $x > 1.2$ (например, $x=2$): $\frac{5(2)-6}{2+9} = \frac{4}{11} > 0$. Знак "плюс".

Нам нужны значения, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком "плюс" и включенная точка $x=1.2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup [1.2, \infty)$

4) $\frac{4x+1}{x-10} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $4x + 1 = 0 \implies 4x = -1 \implies x = -\frac{1}{4} = -0.25$.

Нуль знаменателя: $x - 10 = 0 \implies x = 10$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 10$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-0.25$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=10$ будет выколотой. Получаем интервалы: $(-\infty, -0.25]$, $[-0.25, 10)$ и $(10, \infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < -0.25$ (например, $x=-1$): $\frac{4(-1)+1}{-1-10} = \frac{-3}{-11} > 0$. Знак "плюс".
• При $-0.25 < x < 10$ (например, $x=0$): $\frac{4(0)+1}{0-10} = \frac{1}{-10} < 0$. Знак "минус".
• При $x > 10$ (например, $x=11$): $\frac{4(11)+1}{11-10} = \frac{45}{1} > 0$. Знак "плюс".

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервал со знаком "минус" и включенная точка $x=-0.25$.

Ответ: $x \in [-0.25, 10)$