Номер 207, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

207. При каких значениях a имеет хотя бы одно решение система неравенств:

1) $\begin{cases} x \geq 3, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x \leq 3, \\ x \geq a? \end{cases}$

1) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x \ge 3, \\ x < a. \end{cases} $
Для того чтобы данная система имела хотя бы одно решение, необходимо, чтобы множество решений первого неравенства и множество решений второго неравенства имели непустое пересечение.
Первое неравенство $x \ge 3$ задает числовой промежуток $[3, +\infty)$.
Второе неравенство $x < a$ задает числовой промежуток $(-\infty, a)$.
Пересечением этих двух промежутков является интервал $[3, a)$.
Этот интервал будет содержать хотя бы одно число (т.е. будет непустым) только в том случае, если его правая граница $a$ будет строго больше левой границы $3$.
Таким образом, должно выполняться условие $a > 3$.
Если $a \le 3$, то пересечение множеств будет пустым, и система решений иметь не будет.
Ответ: $a > 3$.

2) Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x \le 3, \\ x \ge a^2. \end{cases} $
Аналогично первому пункту, система будет иметь хотя бы одно решение, если пересечение множеств решений неравенств не является пустым.
Первое неравенство $x \le 3$ задает числовой промежуток $(-\infty, 3]$.
Второе неравенство $x \ge a^2$ задает числовой промежуток $[a^2, +\infty)$.
Пересечением этих двух промежутков является отрезок $[a^2, 3]$.
Этот отрезок будет содержать хотя бы одно число (включая случай, когда он вырождается в точку) только в том случае, если его левая граница $a^2$ будет меньше либо равна правой границе $3$.
Таким образом, должно выполняться условие $a^2 \le 3$.
Решим это квадратное неравенство относительно $a$:
$a^2 - 3 \le 0$
$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) \le 0$
Решением этого неравенства является промежуток $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$.
Ответ: $-\sqrt{3} \le a \le \sqrt{3}$.