Номер 200, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

200. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 6 < 8, \\ 4 - 4x < 10, \\ 8x - 9 > 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 0,4 - 8x \ge 3,6, \\ 1,5x - 2 < 4, \\ 4,1x + 10 < 1,6x + 5. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases} $$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из входящих в нее неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно.

Рассмотрим условия $x < 4$ и $x < 3,6$. Поскольку $3,6 < 4$, то любое число, которое меньше $3,6$, автоматически будет меньше $4$. Поэтому более строгим из этих двух неравенств является $x < 3,6$.

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

$$ \begin{cases} x > 2, \\ x < 3,6. \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 3,6$.

Геометрически это интервал на числовой прямой, расположенный между числами 2 и 3,6.

Ответ: $ (2; 3,6) $

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 6 < 8, \\ 4 - 4x < 10, \\ 8x - 9 > 3; \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:
$2x - 6 < 8$
$2x < 8 + 6$
$2x < 14$
$x < \frac{14}{2}$
$x < 7$

2. Второе неравенство:
$4 - 4x < 10$
$-4x < 10 - 4$
$-4x < 6$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-4$), знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{6}{-4}$
$x > -1,5$

3. Третье неравенство:
$8x - 9 > 3$
$8x > 3 + 9$
$8x > 12$
$x > \frac{12}{8}$
$x > \frac{3}{2}$
$x > 1,5$

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$$ \begin{cases} x < 7, \\ x > -1,5, \\ x > 1,5. \end{cases} $$

Из условий $x > -1,5$ и $x > 1,5$ более строгим является $x > 1,5$. Таким образом, система сводится к:

$$ \begin{cases} x < 7, \\ x > 1,5. \end{cases} $$

Это соответствует двойному неравенству $1,5 < x < 7$.

Ответ: $ (1,5; 7) $

3) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4 - 8x \ge 3,6, \\ 1,5x - 2 < 4, \\ 4,1x + 10 < 1,6x + 5. \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:
$0,4 - 8x \ge 3,6$
$-8x \ge 3,6 - 0,4$
$-8x \ge 3,2$
При делении на $-8$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{3,2}{-8}$
$x \le -0,4$

2. Второе неравенство:
$1,5x - 2 < 4$
$1,5x < 4 + 2$
$1,5x < 6$
$x < \frac{6}{1,5}$
$x < 4$

3. Третье неравенство:
$4,1x + 10 < 1,6x + 5$
$4,1x - 1,6x < 5 - 10$
$2,5x < -5$
$x < \frac{-5}{2,5}$
$x < -2$

Соберем полученные решения в систему:

$$ \begin{cases} x \le -0,4, \\ x < 4, \\ x < -2. \end{cases} $$

Нам нужно найти пересечение трех множеств: $x \in (-\infty; -0,4]$, $x \in (-\infty; 4)$ и $x \in (-\infty; -2)$. Самым строгим из этих условий является $x < -2$, так как если число меньше $-2$, оно автоматически меньше и $-0,4$, и $4$.

Следовательно, решением системы является промежуток $x < -2$.

Ответ: $ (-\infty; -2) $