Номер 195, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

195. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 4x + 3 \geq 6x - 7, \\ 3(x + 8) \geq 4(8 - x); \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2, \\ \frac{2x-5}{3} \geq -3? \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x + 3 \ge 6x - 7, \\ 3(x + 8) \ge 4(8 - x); \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$4x + 3 \ge 6x - 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3 + 7 \ge 6x - 4x$

$10 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$5 \ge x$ или $x \le 5$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 5]$.

Теперь решим второе неравенство:

$3(x + 8) \ge 4(8 - x)$

Раскроем скобки:

$3x + 24 \ge 32 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3x + 4x \ge 32 - 24$

$7x \ge 8$

Разделим обе части на 7:

$x \ge \frac{8}{7}$

Решение второго неравенства: $x \in [\frac{8}{7}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 5] \cap [\frac{8}{7}; +\infty)$.

Это соответствует двойному неравенству $\frac{8}{7} \le x \le 5$.

Так как $\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$, то целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это: 2, 3, 4, 5.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2, \\ \frac{2x - 5}{3} \ge -3; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2$

Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot x - 6 \cdot \frac{x+1}{3} - 6 \cdot \frac{x-2}{6} < 6 \cdot 2$

$6x - 2(x+1) - (x-2) < 12$

Раскроем скобки:

$6x - 2x - 2 - x + 2 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x < 12$

Разделим обе части на 3:

$x < 4$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 4)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{2x - 5}{3} \ge -3$

Умножим обе части на 3:

$2x - 5 \ge -9$

Перенесем -5 в правую часть:

$2x \ge -9 + 5$

$2x \ge -4$

Разделим обе части на 2:

$x \ge -2$

Решение второго неравенства: $x \in [-2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 4) \cap [-2; +\infty)$.

Это соответствует двойному неравенству $-2 \le x < 4$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Всего 6 целых решений.

Ответ: 6