Номер 197, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

197. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{8 - x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

2) $\sqrt{7x - 35} + \frac{1}{x^2 - 5x}$?

1) Выражение $\sqrt{8-x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ имеет смысл, когда выполняются условия существования каждого из его слагаемых. Это приводит к системе неравенств.

Первое слагаемое $\sqrt{8-x}$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $8 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 8$.

Второе слагаемое $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ определено, если подкоренное выражение в знаменателе строго положительно (поскольку корень не может быть из отрицательного числа, а знаменатель не может быть равен нулю). $x > 0$.

Для нахождения допустимых значений переменной решим систему неравенств: $\begin{cases} x \le 8 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является полуинтервал от 0 (не включая) до 8 (включая).

Ответ: $x \in (0, 8]$.

2) Выражение $\sqrt{7x-35} + \frac{1}{x^2-5x}$ имеет смысл, когда выполняются условия существования каждого из его слагаемых.

Первое слагаемое $\sqrt{7x-35}$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $7x - 35 \ge 0$. $7x \ge 35$. $x \ge 5$.

Второе слагаемое $\frac{1}{x^2-5x}$ определено, если его знаменатель не равен нулю: $x^2 - 5x \ne 0$. $x(x - 5) \ne 0$. Это означает, что $x \ne 0$ и $x \ne 5$.

Теперь необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие всем условиям одновременно: $\begin{cases} x \ge 5 \\ x \ne 0 \\ x \ne 5 \end{cases}$

Условие $x \ne 0$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge 5$. Совместив условия $x \ge 5$ и $x \ne 5$, получаем строгое неравенство $x > 5$.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$.