Номер 199, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

199. Решите неравенство:

1) $-2 \leq \frac{6x+1}{4} < 4$;

2) $1,2 < \frac{7-3x}{5} \leq 1,4$.

1)

Дано двойное неравенство: $-2 \le \frac{6x + 1}{4} < 4$.

Для его решения необходимо выполнить равносильные преобразования для всех трех частей неравенства, чтобы изолировать переменную $x$.

Шаг 1: Умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются.

$-2 \cdot 4 \le \left( \frac{6x + 1}{4} \right) \cdot 4 < 4 \cdot 4$

$-8 \le 6x + 1 < 16$

Шаг 2: Вычтем 1 из всех частей неравенства.

$-8 - 1 \le 6x + 1 - 1 < 16 - 1$

$-9 \le 6x < 15$

Шаг 3: Разделим все части неравенства на 6. Так как 6 является положительным числом, знаки неравенства снова сохраняются.

$\frac{-9}{6} \le \frac{6x}{6} < \frac{15}{6}$

Сократим полученные дроби:

$-\frac{3}{2} \le x < \frac{5}{2}$

Это же неравенство в виде десятичных дробей: $-1,5 \le x < 2,5$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$.

2)

Дано двойное неравенство: $1,2 < \frac{7 - 3x}{5} \le 1,4$.

Решаем аналогично предыдущему примеру.

Шаг 1: Умножим все части неравенства на 5. Знак неравенства не изменится, так как 5 > 0.

$1,2 \cdot 5 < \left(\frac{7 - 3x}{5}\right) \cdot 5 \le 1,4 \cdot 5$

$6 < 7 - 3x \le 7$

Шаг 2: Вычтем 7 из всех частей неравенства.

$6 - 7 < 7 - 3x - 7 \le 7 - 7$

$-1 < -3x \le 0$

Шаг 3: Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства необходимо поменять на противоположные.

$\frac{-1}{-3} > \frac{-3x}{-3} \ge \frac{0}{-3}$

$\frac{1}{3} > x \ge 0$

Шаг 4: Запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего значения к большему).

$0 \le x < \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [0; \frac{1}{3})$.