Номер 206, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

206. Решите неравенство:

1) $|x - 6| \ge 2,4;$

2) $|5x + 8| \le 2;$

3) $|x + 5| - 3x > 4;$

4) $|x - 1| + x \le 3.$

1) $|x - 6| \geq 2,4$

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

В данном случае неравенство $|x - 6| \geq 2,4$ распадается на два случая:

$x - 6 \ge 2,4$ или $x - 6 \le -2,4$

Решаем первое неравенство:

$x \ge 2,4 + 6$

$x \ge 8,4$

Решаем второе неравенство:

$x \le -2,4 + 6$

$x \le 3,6$

Объединяя решения, получаем, что $x$ принадлежит объединению промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 3,6] \cup [8,4; +\infty)$.

2) $|5x + 8| \leq 2$

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству: $-a \le f(x) \le a$.

Применяем это правило к неравенству $|5x + 8| \leq 2$:

$-2 \le 5x + 8 \le 2$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-2 - 8 \le 5x \le 2 - 8$

$-10 \le 5x \le -6$

Разделим все части неравенства на 5:

$\frac{-10}{5} \le x \le \frac{-6}{5}$

$-2 \le x \le -1,2$

Ответ: $x \in [-2; -1,2]$.

3) $|x + 5| - 3x > 4$

Для решения этого неравенства необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x + 5 = 0 \implies x = -5$.

Случай 1: $x + 5 \ge 0$, то есть $x \ge -5$.

В этом случае $|x+5| = x+5$. Неравенство принимает вид:

$x + 5 - 3x > 4$

$-2x + 5 > 4$

$-2x > -1$

При делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{2}$

$x < 0,5$

Учитывая исходное условие для этого случая ($x \ge -5$), получаем решение: $x \in [-5; 0,5)$.

Случай 2: $x + 5 < 0$, то есть $x < -5$.

В этом случае $|x+5| = -(x+5) = -x-5$. Неравенство принимает вид:

$-(x + 5) - 3x > 4$

$-x - 5 - 3x > 4$

$-4x - 5 > 4$

$-4x > 9$

$x < -\frac{9}{4}$

$x < -2,25$

Учитывая исходное условие ($x < -5$), пересечение этих условий дает решение: $x \in (-\infty; -5)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(-\infty; -5) \cup [-5; 0,5)$.

Итоговое решение: $x \in (-\infty; 0,5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

4) $|x - 1| + x \leq 3$

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой выражение под модулем меняет знак: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$.

В этом случае $|x-1| = x-1$. Неравенство принимает вид:

$(x - 1) + x \le 3$

$2x - 1 \le 3$

$2x \le 4$

$x \le 2$

Учитывая исходное условие для этого случая ($x \ge 1$), получаем решение: $x \in [1; 2]$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$.

В этом случае $|x-1| = -(x-1) = -x+1$. Неравенство принимает вид:

$(-x + 1) + x \le 3$

$1 \le 3$

Это неравенство верно при любых значениях $x$. Следовательно, решением в этом случае является весь рассматриваемый промежуток $x < 1$, то есть $x \in (-\infty; 1)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $(-\infty; 1) \cup [1; 2]$.

Итоговое решение: $x \in (-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.