Номер 211, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

211. Для каждого значения a решите систему неравенств $ \begin{cases} x < -3, \\ x > a. \end{cases} $

Для решения системы неравенств $$\begin{cases}x < -3 \\x > a\end{cases}$$необходимо найти пересечение множеств решений каждого неравенства. Решение первого неравенства $x < -3$ — это интервал $(-\infty; -3)$. Решение второго неравенства $x > a$ — это интервал $(a; +\infty)$. Решение системы является пересечением этих интервалов: $x \in (-\infty; -3) \cap (a; +\infty)$.

Вид решения зависит от взаимного расположения точек $a$ и $-3$ на числовой прямой. Рассмотрим все возможные случаи.

При $a < -3$

Если значение параметра $a$ меньше $-3$, то на числовой оси точка $a$ расположена левее точки $-3$. В этом случае интервалы $(-\infty; -3)$ и $(a; +\infty)$ пересекаются. Их общая часть — это все числа, которые одновременно больше $a$ и меньше $-3$. Следовательно, решением системы является интервал $(a; -3)$.

При $a \ge -3$

Этот случай объединяет две ситуации: $a = -3$ и $a > -3$.

Если $a = -3$, система принимает вид:$$\begin{cases}x < -3 \\x > -3\end{cases}$$Не существует числа $x$, которое было бы одновременно строго меньше и строго больше $-3$. Таким образом, система не имеет решений.

Если $a > -3$, точка $a$ расположена на числовой оси правее точки $-3$. Интервалы $(-\infty; -3)$ и $(a; +\infty)$ не имеют общих точек, их пересечение является пустым множеством. Система также не имеет решений.

Таким образом, для любого значения $a$, удовлетворяющего условию $a \ge -3$, система не имеет решений.

Ответ:
при $a < -3$ решением является $x \in (a; -3)$;
при $a \ge -3$ решений нет, $x \in \emptyset$.