Номер 213, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

213. При каких значениях $b$ множество решений системы неравенств $\begin{cases} x < 5, \\ x \ge b \end{cases}$ содержит ровно три целых числа?

Решением системы неравенств $\begin{cases} x < 5 \\ x \ge b \end{cases}$ является множество всех чисел $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Это можно записать в виде двойного неравенства $b \le x < 5$.

Геометрически это представляет собой числовой промежуток $[b, 5)$.

По условию задачи, этот промежуток должен содержать ровно три целых числа. Найдем, какие именно это могут быть числа. Поскольку $x < 5$, наибольшим возможным целым решением является число $4$. Чтобы в решении было ровно три целых числа, это должны быть три последовательных целых числа, наибольшее из которых равно $4$. Таким образом, искомые целые числа — это $4, 3$ и $2$.

Теперь определим, каким должен быть параметр $b$, чтобы промежуток $[b, 5)$ содержал числа $2, 3, 4$ и не содержал никаких других целых чисел.

1. Чтобы число $2$ входило в промежуток решений, левая граница $b$ должна быть не больше $2$. То есть, должно выполняться условие $b \le 2$.

2. Чтобы следующее меньшее целое число, то есть $1$, не входило в промежуток решений, левая граница $b$ должна быть строго больше $1$. То есть, должно выполняться условие $b > 1$.

Объединив эти два условия для $b$, получаем систему: $\begin{cases} b \le 2 \\ b > 1 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $1 < b \le 2$.

Ответ: $1 < b \le 2$.