Номер 212, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

212. При каких значениях $a$ множество решений системы неравенств

$\begin{cases} x \ge 7, \\ x < a \end{cases}$ содержит ровно четыре целых числа?

Решением данной системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Первое неравенство $x \ge 7$ задает множество $[7; +\infty)$.

Второе неравенство $x < a$ задает множество $(-\infty; a)$.

Пересечением этих множеств является числовой промежуток $[7; a)$.

По условию, этот промежуток должен содержать ровно четыре целых числа. Поскольку левая граница промежутка, число 7, является целым и входит в промежуток (неравенство нестрогое), то первым целым решением будет 7.

Найдем четыре последовательных целых числа, начиная с 7. Это числа: 7, 8, 9, 10.

Эти четыре числа должны входить в промежуток $[7; a)$, а следующее за ними целое число, 11, входить в него не должно.

Чтобы число 10 входило в промежуток $[7; a)$, оно должно удовлетворять условию $x < a$, то есть должно выполняться неравенство $10 < a$.

Чтобы число 11 не входило в промежуток $[7; a)$, оно не должно удовлетворять условию $x < a$, то есть должно выполняться неравенство $11 \ge a$, или $a \le 11$.

Таким образом, параметр $a$ должен удовлетворять системе из двух условий: $$ \begin{cases} a > 10 \\ a \le 11 \end{cases} $$

Решением этой системы является полуинтервал $(10; 11]$.

Проверим:

• Если $a=10.1$ (удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 10.1)$. Целые решения: 7, 8, 9, 10. Их ровно четыре.
• Если $a=11$ (удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 11)$. Целые решения: 7, 8, 9, 10. Их ровно четыре.
• Если $a=10$ (не удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 10)$. Целые решения: 7, 8, 9. Их три.
• Если $a=11.1$ (не удовлетворяет условию), то решения системы $x \in [7; 11.1)$. Целые решения: 7, 8, 9, 10, 11. Их пять.

Следовательно, найденный промежуток для $a$ является верным.

Ответ: $a \in (10; 11]$.