Страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

188. Найдите сумму целых решений системы неравенств $ \begin{cases} x + 8 \ge 4, \\ 5x + 1 \le 9. \end{cases} $

Для нахождения суммы целых решений системы неравенств, необходимо сначала решить каждое неравенство по отдельности, найти общее решение для системы, а затем выделить из него целые числа и сложить их.

1. Решим первое неравенство:

$x + 8 \geq 4$
Вычтем 8 из обеих частей неравенства:
$x \geq 4 - 8$
$x \geq -4$

2. Решим второе неравенство:

$5x + 1 \leq 9$
Вычтем 1 из обеих частей неравенства:
$5x \leq 9 - 1$
$5x \leq 8$
Разделим обе части на 5:
$x \leq \frac{8}{5}$
$x \leq 1.6$

3. Найдем общее решение и сумму целых чисел:

Мы получили, что решение системы неравенств должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x \geq -4$ и $x \leq 1.6$.
Объединив эти условия, получаем промежуток: $[-4; 1.6]$.
Целыми решениями, принадлежащими этому промежутку, являются числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Теперь найдем их сумму:
$(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9$

Ответ: -9

189. Сколько целых решений имеет неравенство $-3 \le 7x - 5 < 16$?

Для решения двойного неравенства $-3 \le 7x - 5 < 16$ необходимо найти все значения $x$, удовлетворяющие ему. Для этого мы последовательно выполним одинаковые операции со всеми тремя частями неравенства, чтобы в центре осталась только переменная $x$.

1. Устранение слагаемого -5.

Прибавим ко всем частям неравенства число 5:

$-3 + 5 \le 7x - 5 + 5 < 16 + 5$

После вычисления получаем:

$2 \le 7x < 21$

2. Устранение множителя 7.

Разделим все части полученного неравенства на 7:

$\frac{2}{7} \le \frac{7x}{7} < \frac{21}{7}$

После упрощения получаем окончательный диапазон для $x$:

$\frac{2}{7} \le x < 3$

3. Поиск целых решений.

Теперь нам нужно определить, сколько целых чисел попадает в промежуток $[\frac{2}{7}, 3)$.

Поскольку $\frac{2}{7} \approx 0.286$, неравенство можно представить в виде $0.286 \le x < 3$.

Целые числа, которые больше или равны $0.286$ и строго меньше 3, это:

1, 2.

Число 3 не включается, так как неравенство строгое ($x < 3$).

Таким образом, существует всего два целых решения.

Ответ: 2

190. Найдите наименьшее целое решение системы неравенств $ \begin{cases} x + 8 \geq 17, \\ \frac{x}{2} > 4.5. \end{cases} $

Для решения данной системы неравенств необходимо найти множество значений $x$, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Сначала решим каждое неравенство по отдельности.

Решим первое неравенство:

$x + 8 \ge 17$

Перенесем число 8 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный:

$x \ge 17 - 8$

$x \ge 9$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[9; +\infty)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{x}{2} > 4,5$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$x > 4,5 \cdot 2$

$x > 9$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(9; +\infty)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть множество чисел, которые одновременно больше или равны 9 и строго больше 9. Таким общим решением будет $x > 9$.

Теперь найдем наименьшее целое решение. Нам нужно найти наименьшее целое число, которое удовлетворяет условию $x > 9$. Первое целое число, которое больше 9, — это 10.

Ответ: 10

191. Найдите наибольшее целое решение системы неравенств

$\begin{cases} 2x + 1 < -4, \\ 3x - 6 \le -12. \end{cases}$

Чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и затем найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство системы:
$2x + 1 < -4$
Перенесем слагаемое 1 из левой части в правую с противоположным знаком:
$2x < -4 - 1$
$2x < -5$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$x < -\frac{5}{2}$
$x < -2.5$
Решением первого неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -2.5)$.

2. Решим второе неравенство системы:
$3x - 6 \le -12$
Перенесем слагаемое -6 из левой части в правую с противоположным знаком:
$3x \le -12 + 6$
$3x \le -6$
Разделим обе части неравенства на 3. Знак неравенства не меняется:
$x \le \frac{-6}{3}$
$x \le -2$
Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -2]$.

3. Найдем решение системы неравенств:
Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть множество всех $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x < -2.5$ и $x \le -2$.
Если изобразить эти промежутки на числовой оси, их пересечением будет промежуток, где выполняются оба условия. Условие $x < -2.5$ является более строгим, чем $x \le -2$, поэтому пересечением будет промежуток $(-\infty; -2.5)$.

4. Найдем наибольшее целое решение:
В задаче требуется найти наибольшее целое число, принадлежащее промежутку $(-\infty; -2.5)$.
Целыми числами, которые меньше -2.5, являются -3, -4, -5 и так далее.
Самым большим из них является число -3.

Ответ: -3

192. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases} 8(2 - x) - 2x > 3, \\ -3(6x - 1) - x < 2x \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} \frac{x + 1}{4} - \frac{2x + 3}{3} > 1, \\ 6(2x - 1) < 5(x - 4) - 7 \end{cases}$$

3) $$\begin{cases} 2(x - 3) \le 3x + 4(x + 1), \\ (x - 3)(x + 3) \le (x - 4)^2 - 1 \end{cases}$$

4) $$\begin{cases} 2(x + 11) \ge 3(6 - x), \\ (x - 3)(x + 6) \ge (x + 5)(x - 4) \end{cases}$$

5) $$\begin{cases} 2x - \frac{x + 1}{2} \le \frac{x + 1}{3}, \\ (x + 5)(x - 3) + 41 \ge (x - 6)^2 \end{cases}$$

6) $$\begin{cases} 5x + 4 \le 2x - 8, \\ (x + 2)(x - 1) \ge (x + 3)(x - 2) \end{cases}$$

7) $$\begin{cases} \frac{x + 2}{7} < \frac{x + 1}{4}, \\ (x - 6)(x + 2) + 4x < (x - 7)(x + 7) \end{cases}$$

8) $$\begin{cases} \frac{6x + 1}{6} - \frac{5x - 1}{5} > -1, \\ 2(x + 8) - 3(x + 2) < 5 - x \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 8(2 - x) - 2x > 3 \\ -3(6x - 1) - x < 2x \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$8(2 - x) - 2x > 3$
$16 - 8x - 2x > 3$
$16 - 10x > 3$
$-10x > 3 - 16$
$-10x > -13$
$10x < 13$
$x < 1.3$

Решим второе неравенство:
$-3(6x - 1) - x < 2x$
$-18x + 3 - x < 2x$
$-19x + 3 < 2x$
$3 < 2x + 19x$
$3 < 21x$
$x > \frac{3}{21}$
$x > \frac{1}{7}$

Найдем пересечение решений: $x < 1.3$ и $x > \frac{1}{7}$.
Таким образом, $\frac{1}{7} < x < 1.3$.
Ответ: $(\frac{1}{7}; 1.3)$

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1 \\ 6(2x-1) < 5(x-4) - 7 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$\frac{x+1}{4} - \frac{2x+3}{3} > 1$
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$3(x+1) - 4(2x+3) > 12$
$3x + 3 - 8x - 12 > 12$
$-5x - 9 > 12$
$-5x > 21$
$x < -\frac{21}{5}$
$x < -4.2$

Решим второе неравенство:
$6(2x-1) < 5(x-4) - 7$
$12x - 6 < 5x - 20 - 7$
$12x - 6 < 5x - 27$
$12x - 5x < -27 + 6$
$7x < -21$
$x < -3$

Найдем пересечение решений: $x < -4.2$ и $x < -3$.
Общим решением является $x < -4.2$.
Ответ: $(-\infty; -4.2)$

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x - 3) \le 3x + 4(x + 1) \\ (x - 3)(x + 3) \le (x - 4)^2 - 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2(x - 3) \le 3x + 4(x + 1)$
$2x - 6 \le 3x + 4x + 4$
$2x - 6 \le 7x + 4$
$-6 - 4 \le 7x - 2x$
$-10 \le 5x$
$x \ge -2$

Решим второе неравенство:
$(x - 3)(x + 3) \le (x - 4)^2 - 1$
$x^2 - 9 \le (x^2 - 8x + 16) - 1$
$x^2 - 9 \le x^2 - 8x + 15$
$-9 \le -8x + 15$
$8x \le 15 + 9$
$8x \le 24$
$x \le 3$

Найдем пересечение решений: $x \ge -2$ и $x \le 3$.
Общим решением является $-2 \le x \le 3$.
Ответ: $[-2; 3]$

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2(x + 11) \ge 3(6 - x) \\ (x - 3)(x + 6) \ge (x + 5)(x - 4) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2(x + 11) \ge 3(6 - x)$
$2x + 22 \ge 18 - 3x$
$2x + 3x \ge 18 - 22$
$5x \ge -4$
$x \ge -0.8$

Решим второе неравенство:
$(x - 3)(x + 6) \ge (x + 5)(x - 4)$
$x^2 + 6x - 3x - 18 \ge x^2 - 4x + 5x - 20$
$x^2 + 3x - 18 \ge x^2 + x - 20$
$3x - x \ge -20 + 18$
$2x \ge -2$
$x \ge -1$

Найдем пересечение решений: $x \ge -0.8$ и $x \ge -1$.
Общим решением является $x \ge -0.8$.
Ответ: $[-0.8; +\infty)$

5) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x+1}{3} \\ (x + 5)(x - 3) + 41 \ge (x - 6)^2 \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$2x - \frac{x+1}{2} \le \frac{x+1}{3}$
Умножим обе части на 6:
$12x - 3(x+1) \le 2(x+1)$
$12x - 3x - 3 \le 2x + 2$
$9x - 3 \le 2x + 2$
$7x \le 5$
$x \le \frac{5}{7}$

Решим второе неравенство:
$(x + 5)(x - 3) + 41 \ge (x - 6)^2$
$x^2 - 3x + 5x - 15 + 41 \ge x^2 - 12x + 36$
$x^2 + 2x + 26 \ge x^2 - 12x + 36$
$2x + 12x \ge 36 - 26$
$14x \ge 10$
$x \ge \frac{10}{14}$
$x \ge \frac{5}{7}$

Найдем пересечение решений: $x \le \frac{5}{7}$ и $x \ge \frac{5}{7}$.
Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x = \frac{5}{7}$.
Ответ: $\{\frac{5}{7}\}$

6) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 5x + 4 \le 2x - 8 \\ (x + 2)(x - 1) \ge (x + 3)(x - 2) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$5x + 4 \le 2x - 8$
$5x - 2x \le -8 - 4$
$3x \le -12$
$x \le -4$

Решим второе неравенство:
$(x + 2)(x - 1) \ge (x + 3)(x - 2)$
$x^2 - x + 2x - 2 \ge x^2 - 2x + 3x - 6$
$x^2 + x - 2 \ge x^2 + x - 6$
$-2 \ge -6$
Это неравенство верно для любого значения $x$, так как $-2$ всегда больше $-6$.

Найдем пересечение решений: $x \le -4$ и $x \in (-\infty; +\infty)$.
Общим решением является $x \le -4$.
Ответ: $(-\infty; -4]$

7) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+2}{7} < \frac{x+1}{4} \\ (x - 6)(x + 2) + 4x < (x - 7)(x + 7) \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$\frac{x+2}{7} < \frac{x+1}{4}$
Умножим обе части на 28:
$4(x+2) < 7(x+1)$
$4x + 8 < 7x + 7$
$8 - 7 < 7x - 4x$
$1 < 3x$
$x > \frac{1}{3}$

Решим второе неравенство:
$(x - 6)(x + 2) + 4x < (x - 7)(x + 7)$
$x^2 + 2x - 6x - 12 + 4x < x^2 - 49$
$x^2 - 12 < x^2 - 49$
$-12 < -49$
Это неравенство ложно. Следовательно, у второго неравенства нет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений

8) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1 \\ 2(x + 8) - 3(x + 2) < 5 - x \end{cases} $

Решим первое неравенство:
$\frac{6x+1}{6} - \frac{5x-1}{5} > -1$
Умножим обе части на 30:
$5(6x+1) - 6(5x-1) > -30$
$30x + 5 - 30x + 6 > -30$
$11 > -30$
Это неравенство верно для любого значения $x$.

Решим второе неравенство:
$2(x + 8) - 3(x + 2) < 5 - x$
$2x + 16 - 3x - 6 < 5 - x$
$-x + 10 < 5 - x$
$10 < 5$
Это неравенство ложно. Следовательно, у второго неравенства нет решений.

Поскольку второе неравенство системы не имеет решений, вся система не имеет решений.
Ответ: нет решений

193. Найдите множество решений системы неравенств:

1) $ \begin{cases} \frac{2x - 3}{5} - \frac{4x - 9}{6} > 1 \\ 5(x - 1) + 7(x + 2) > 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 2}{3} < \frac{x + 12}{6}, \\ 0,3x - 19 \le 1,7x - 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} (x - 6)^2 < (x - 2)^2 - 8, \\ 3(2x - 1) - 8 < 34 - 3(5x - 9); \end{cases} $

4) $ \begin{cases} \frac{3x - 2}{3} - \frac{4x + 1}{4} \le 1, \\ (x - 1)(x - 2) > (x + 4)(x - 7). \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1 \\ 5(x-1) + 7(x+2) > 3 \end{cases} $.
Сначала решим первое неравенство: $ \frac{2x-3}{5} - \frac{4x-9}{6} > 1 $.
Приведем левую часть к общему знаменателю 30 и умножим обе части неравенства на 30:
$ 6(2x-3) - 5(4x-9) > 30 $
$ 12x - 18 - 20x + 45 > 30 $
$ -8x + 27 > 30 $
$ -8x > 3 $
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
$ x < -\frac{3}{8} $
Теперь решим второе неравенство: $ 5(x-1) + 7(x+2) > 3 $.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$ 5x - 5 + 7x + 14 > 3 $
$ 12x + 9 > 3 $
$ 12x > 3 - 9 $
$ 12x > -6 $
$ x > -\frac{6}{12} $
$ x > -\frac{1}{2} $
Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $ x \in (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}) $.
Ответ: $ (-\frac{1}{2}; -\frac{3}{8}) $.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6} \\ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 \end{cases} $.
Решим первое неравенство: $ \frac{x+1}{2} - \frac{x+2}{3} < \frac{x+12}{6} $.
Умножим обе части на общий знаменатель 6:
$ 3(x+1) - 2(x+2) < x+12 $
$ 3x + 3 - 2x - 4 < x+12 $
$ x - 1 < x + 12 $
$ -1 < 12 $
Данное неравенство верно при любых значениях $x$. Значит, его решение — $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Решим второе неравенство: $ 0.3x - 19 \leq 1.7x - 5 $.
Перенесем слагаемые с $ x $ в правую часть, а числа — в левую:
$ -19 + 5 \leq 1.7x - 0.3x $
$ -14 \leq 1.4x $
$ x \geq \frac{-14}{1.4} $
$ x \geq -10 $
Решением системы является пересечение множеств $ x \in (-\infty; +\infty) $ и $ x \in [-10; +\infty) $, что дает $ x \in [-10; +\infty) $.
Ответ: $ [-10; +\infty) $.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (x-6)^2 < (x-2)^2 - 8 \\ 3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9) \end{cases} $.
Решим первое неравенство: $ (x-6)^2 < (x-2)^2 - 8 $.
Раскроем скобки по формуле квадрата разности $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $:
$ x^2 - 12x + 36 < x^2 - 4x + 4 - 8 $
$ x^2 - 12x + 36 < x^2 - 4x - 4 $
Перенесем слагаемые с $ x $ вправо, а числа влево:
$ 36 + 4 < 12x - 4x $
$ 40 < 8x $
$ x > 5 $
Решим второе неравенство: $ 3(2x-1) - 8 < 34 - 3(5x-9) $.
Раскроем скобки:
$ 6x - 3 - 8 < 34 - 15x + 27 $
$ 6x - 11 < 61 - 15x $
Перенесем слагаемые с $ x $ влево, а числа вправо:
$ 6x + 15x < 61 + 11 $
$ 21x < 72 $
$ x < \frac{72}{21} $
$ x < \frac{24}{7} $
Теперь найдем пересечение решений: $ x > 5 $ и $ x < \frac{24}{7} $.
Поскольку $ \frac{24}{7} \approx 3.43 $, а $ 5 > \frac{24}{7} $, то не существует такого $ x $, которое одновременно больше 5 и меньше $ \frac{24}{7} $. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: $ \emptyset $.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \leq 1 \\ (x-1)(x-2) > (x+4)(x-7) \end{cases} $.
Решим первое неравенство: $ \frac{3x-2}{3} - \frac{4x+1}{4} \leq 1 $.
Умножим обе части на общий знаменатель 12:
$ 4(3x-2) - 3(4x+1) \leq 12 $
$ 12x - 8 - 12x - 3 \leq 12 $
$ -11 \leq 12 $
Данное неравенство верно при любых значениях $x$. Значит, его решение — $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Решим второе неравенство: $ (x-1)(x-2) > (x+4)(x-7) $.
Раскроем скобки:
$ x^2 - 2x - x + 2 > x^2 - 7x + 4x - 28 $
$ x^2 - 3x + 2 > x^2 - 3x - 28 $
$ 2 > -28 $
Данное неравенство также верно при любых значениях $x$. Его решение — $ x \in (-\infty; +\infty) $.
Пересечением двух множеств, каждое из которых является множеством всех действительных чисел, является множество всех действительных чисел.
Ответ: $ (-\infty; +\infty) $.

194. Найдите целые решения системы неравенств:

1)

2)

1) Решим систему неравенств: $\begin{cases} 2x-1 < 1,7-x, \\ 3x-2 \ge x-8. \end{cases}$

Для этого решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$2x - 1 < 1,7 - x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$2x + x < 1,7 + 1$

$3x < 2,7$

Разделим обе части на 3:

$x < \frac{2,7}{3}$

$x < 0,9$

Второе неравенство:

$3x - 2 \ge x - 8$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - x \ge -8 + 2$

$2x \ge -6$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{-6}{2}$

$x \ge -3$

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть промежуток, где $x \ge -3$ и $x < 0,9$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $-3 \le x < 0,9$.

Найдем целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

2) Решим систему неравенств: $\begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 1, \\ 2x - \frac{x}{2} \ge 10. \end{cases}$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot (\frac{x}{3} - \frac{x}{4}) < 12 \cdot 1$

$4x - 3x < 12$

$x < 12$

Второе неравенство:

$2x - \frac{x}{2} \ge 10$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на 2:

$2 \cdot (2x - \frac{x}{2}) \ge 2 \cdot 10$

$4x - x \ge 20$

$3x \ge 20$

Разделим обе части на 3:

$x \ge \frac{20}{3}$

Так как $\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$, то $x \ge 6\frac{2}{3}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть промежуток, где $x \ge 6\frac{2}{3}$ и $x < 12$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $6\frac{2}{3} \le x < 12$.

Найдем целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Это числа 7, 8, 9, 10, 11.

Ответ: 7, 8, 9, 10, 11.

195. Сколько целых решений имеет система неравенств:

1) $\begin{cases} 4x + 3 \geq 6x - 7, \\ 3(x + 8) \geq 4(8 - x); \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2, \\ \frac{2x-5}{3} \geq -3? \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 4x + 3 \ge 6x - 7, \\ 3(x + 8) \ge 4(8 - x); \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$4x + 3 \ge 6x - 7$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3 + 7 \ge 6x - 4x$

$10 \ge 2x$

Разделим обе части на 2:

$5 \ge x$ или $x \le 5$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 5]$.

Теперь решим второе неравенство:

$3(x + 8) \ge 4(8 - x)$

Раскроем скобки:

$3x + 24 \ge 32 - 4x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$3x + 4x \ge 32 - 24$

$7x \ge 8$

Разделим обе части на 7:

$x \ge \frac{8}{7}$

Решение второго неравенства: $x \in [\frac{8}{7}; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 5] \cap [\frac{8}{7}; +\infty)$.

Это соответствует двойному неравенству $\frac{8}{7} \le x \le 5$.

Так как $\frac{8}{7} = 1\frac{1}{7}$, то целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это: 2, 3, 4, 5.

Всего 4 целых решения.

Ответ: 4

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2, \\ \frac{2x - 5}{3} \ge -3; \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$x - \frac{x+1}{3} - \frac{x-2}{6} < 2$

Умножим обе части неравенства на общий знаменатель 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot x - 6 \cdot \frac{x+1}{3} - 6 \cdot \frac{x-2}{6} < 6 \cdot 2$

$6x - 2(x+1) - (x-2) < 12$

Раскроем скобки:

$6x - 2x - 2 - x + 2 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$3x < 12$

Разделим обе части на 3:

$x < 4$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 4)$.

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{2x - 5}{3} \ge -3$

Умножим обе части на 3:

$2x - 5 \ge -9$

Перенесем -5 в правую часть:

$2x \ge -9 + 5$

$2x \ge -4$

Разделим обе части на 2:

$x \ge -2$

Решение второго неравенства: $x \in [-2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (-\infty; 4) \cap [-2; +\infty)$.

Это соответствует двойному неравенству $-2 \le x < 4$.

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству, это: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Всего 6 целых решений.

Ответ: 6

196. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt{6x - 9} + \sqrt{2x - 5};$

2) $\sqrt{3x + 5} - \frac{1}{\sqrt{15 - 5x}};$

3) $\sqrt{2x - 4} + \sqrt{1 - x};$

4) $\sqrt{12 - 3x} - \frac{5}{x - 4}.$

1) Для нахождения области определения выражения $\sqrt{6x-9}+\sqrt{2x-5}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 6x - 9 \ge 0 \\ 2x - 5 \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$6x \ge 9$
$x \ge \frac{9}{6}$
$x \ge 1.5$
Решим второе неравенство:
$2x \ge 5$
$x \ge \frac{5}{2}$
$x \ge 2.5$
Для того чтобы система имела решение, необходимо найти пересечение полученных множеств: $x \ge 1.5$ и $x \ge 2.5$. Общим решением является $x \ge 2.5$.
Ответ: $[2.5; +\infty)$.

2) Область определения выражения $\sqrt{3x+5}-\frac{1}{\sqrt{15-5x}}$ задается двумя условиями. Во-первых, подкоренное выражение $3x+5$ должно быть неотрицательным. Во-вторых, подкоренное выражение $15-5x$, находящееся в знаменателе, должно быть строго положительным. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} 3x + 5 \ge 0 \\ 15 - 5x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$3x \ge -5$
$x \ge -\frac{5}{3}$
Решим второе неравенство:
$15 > 5x$
$3 > x$ или $x < 3$
Общим решением системы является пересечение этих двух условий: $-\frac{5}{3} \le x < 3$.
Ответ: $[-\frac{5}{3}; 3)$.

3) Для нахождения области определения выражения $\sqrt{2x-4}+\sqrt{1-x}$ необходимо, чтобы оба подкоренных выражения были неотрицательными. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x \ge 4$
$x \ge 2$
Решим второе неравенство:
$1 \ge x$
$x \le 1$
Нужно найти значения $x$, которые одновременно больше или равны 2 и меньше или равны 1. Таких значений не существует, так как промежутки $[2; +\infty)$ и $(-\infty; 1]$ не пересекаются. Следовательно, область определения — пустое множество.
Ответ: $\emptyset$.

4) Область определения выражения $\sqrt{12-3x}-\frac{5}{x-4}$ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Составим систему:
$\begin{cases} 12 - 3x \ge 0 \\ x - 4 \ne 0 \end{cases}$
Решим неравенство:
$12 \ge 3x$
$4 \ge x$ или $x \le 4$
Второе условие: $x \ne 4$.
Объединяя условия $x \le 4$ и $x \ne 4$, получаем, что $x$ должен быть строго меньше 4.
Ответ: $(-\infty; 4)$.

197. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{8 - x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

2) $\sqrt{7x - 35} + \frac{1}{x^2 - 5x}$?

1) Выражение $\sqrt{8-x} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$ имеет смысл, когда выполняются условия существования каждого из его слагаемых. Это приводит к системе неравенств.

Первое слагаемое $\sqrt{8-x}$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $8 - x \ge 0$, что эквивалентно $x \le 8$.

Второе слагаемое $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ определено, если подкоренное выражение в знаменателе строго положительно (поскольку корень не может быть из отрицательного числа, а знаменатель не может быть равен нулю). $x > 0$.

Для нахождения допустимых значений переменной решим систему неравенств: $\begin{cases} x \le 8 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является полуинтервал от 0 (не включая) до 8 (включая).

Ответ: $x \in (0, 8]$.

2) Выражение $\sqrt{7x-35} + \frac{1}{x^2-5x}$ имеет смысл, когда выполняются условия существования каждого из его слагаемых.

Первое слагаемое $\sqrt{7x-35}$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $7x - 35 \ge 0$. $7x \ge 35$. $x \ge 5$.

Второе слагаемое $\frac{1}{x^2-5x}$ определено, если его знаменатель не равен нулю: $x^2 - 5x \ne 0$. $x(x - 5) \ne 0$. Это означает, что $x \ne 0$ и $x \ne 5$.

Теперь необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие всем условиям одновременно: $\begin{cases} x \ge 5 \\ x \ne 0 \\ x \ne 5 \end{cases}$

Условие $x \ne 0$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge 5$. Совместив условия $x \ge 5$ и $x \ne 5$, получаем строгое неравенство $x > 5$.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$.

198. Решите неравенство:

1) $-3 < \frac{2x-5}{2} < 4$;

2) $-4 \leq 1 - \frac{x-2}{3} \leq -3.$

1)

Для решения двойного неравенства $-3 < \frac{2x - 5}{2} < 4$ необходимо выполнить равносильные преобразования над всеми его частями.

Сначала умножим все три части неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби в средней части:

$-3 \cdot 2 < 2x - 5 < 4 \cdot 2$

$-6 < 2x - 5 < 8$

Затем прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы в центре осталось только выражение с $x$:

$-6 + 5 < 2x < 8 + 5$

$-1 < 2x < 13$

Наконец, разделим все части на 2, чтобы найти значение $x$:

$-\frac{1}{2} < x < \frac{13}{2}$

Решением является интервал от -0,5 до 6,5.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{13}{2})$.

2)

Рассмотрим двойное неравенство $-4 \leq 1 - \frac{x-2}{3} \leq -3$.

Первым шагом вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-4 - 1 \leq -\frac{x-2}{3} \leq -3 - 1$

$-5 \leq -\frac{x-2}{3} \leq -4$

Далее умножим все части на -1. Важно помнить, что при умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$5 \geq \frac{x-2}{3} \geq 4$

Для удобства перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$4 \leq \frac{x-2}{3} \leq 5$

Теперь умножим все части на 3:

$4 \cdot 3 \leq x-2 \leq 5 \cdot 3$

$12 \leq x - 2 \leq 15$

И последним шагом прибавим 2 ко всем частям, чтобы найти $x$:

$12 + 2 \leq x \leq 15 + 2$

$14 \leq x \leq 17$

Решением является отрезок от 14 до 17 включительно.

Ответ: $x \in [14; 17]$.

199. Решите неравенство:

1) $-2 \leq \frac{6x+1}{4} < 4$;

2) $1,2 < \frac{7-3x}{5} \leq 1,4$.

1)

Дано двойное неравенство: $-2 \le \frac{6x + 1}{4} < 4$.

Для его решения необходимо выполнить равносильные преобразования для всех трех частей неравенства, чтобы изолировать переменную $x$.

Шаг 1: Умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 4 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются.

$-2 \cdot 4 \le \left( \frac{6x + 1}{4} \right) \cdot 4 < 4 \cdot 4$

$-8 \le 6x + 1 < 16$

Шаг 2: Вычтем 1 из всех частей неравенства.

$-8 - 1 \le 6x + 1 - 1 < 16 - 1$

$-9 \le 6x < 15$

Шаг 3: Разделим все части неравенства на 6. Так как 6 является положительным числом, знаки неравенства снова сохраняются.

$\frac{-9}{6} \le \frac{6x}{6} < \frac{15}{6}$

Сократим полученные дроби:

$-\frac{3}{2} \le x < \frac{5}{2}$

Это же неравенство в виде десятичных дробей: $-1,5 \le x < 2,5$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; \frac{5}{2})$.

2)

Дано двойное неравенство: $1,2 < \frac{7 - 3x}{5} \le 1,4$.

Решаем аналогично предыдущему примеру.

Шаг 1: Умножим все части неравенства на 5. Знак неравенства не изменится, так как 5 > 0.

$1,2 \cdot 5 < \left(\frac{7 - 3x}{5}\right) \cdot 5 \le 1,4 \cdot 5$

$6 < 7 - 3x \le 7$

Шаг 2: Вычтем 7 из всех частей неравенства.

$6 - 7 < 7 - 3x - 7 \le 7 - 7$

$-1 < -3x \le 0$

Шаг 3: Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства необходимо поменять на противоположные.

$\frac{-1}{-3} > \frac{-3x}{-3} \ge \frac{0}{-3}$

$\frac{1}{3} > x \ge 0$

Шаг 4: Запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего значения к большему).

$0 \le x < \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [0; \frac{1}{3})$.

200. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x - 6 < 8, \\ 4 - 4x < 10, \\ 8x - 9 > 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 0,4 - 8x \ge 3,6, \\ 1,5x - 2 < 4, \\ 4,1x + 10 < 1,6x + 5. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x < 4, \\ x > 2, \\ x < 3,6; \end{cases} $$

Решением системы является пересечение множеств решений каждого из входящих в нее неравенств. Необходимо найти значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно.

Рассмотрим условия $x < 4$ и $x < 3,6$. Поскольку $3,6 < 4$, то любое число, которое меньше $3,6$, автоматически будет меньше $4$. Поэтому более строгим из этих двух неравенств является $x < 3,6$.

Таким образом, исходная система равносильна следующей системе:

$$ \begin{cases} x > 2, \\ x < 3,6. \end{cases} $$

Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 < x < 3,6$.

Геометрически это интервал на числовой прямой, расположенный между числами 2 и 3,6.

Ответ: $ (2; 3,6) $

2) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 2x - 6 < 8, \\ 4 - 4x < 10, \\ 8x - 9 > 3; \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:
$2x - 6 < 8$
$2x < 8 + 6$
$2x < 14$
$x < \frac{14}{2}$
$x < 7$

2. Второе неравенство:
$4 - 4x < 10$
$-4x < 10 - 4$
$-4x < 6$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число ($-4$), знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{6}{-4}$
$x > -1,5$

3. Третье неравенство:
$8x - 9 > 3$
$8x > 3 + 9$
$8x > 12$
$x > \frac{12}{8}$
$x > \frac{3}{2}$
$x > 1,5$

Теперь найдем пересечение полученных решений:

$$ \begin{cases} x < 7, \\ x > -1,5, \\ x > 1,5. \end{cases} $$

Из условий $x > -1,5$ и $x > 1,5$ более строгим является $x > 1,5$. Таким образом, система сводится к:

$$ \begin{cases} x < 7, \\ x > 1,5. \end{cases} $$

Это соответствует двойному неравенству $1,5 < x < 7$.

Ответ: $ (1,5; 7) $

3) Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} 0,4 - 8x \ge 3,6, \\ 1,5x - 2 < 4, \\ 4,1x + 10 < 1,6x + 5. \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Первое неравенство:
$0,4 - 8x \ge 3,6$
$-8x \ge 3,6 - 0,4$
$-8x \ge 3,2$
При делении на $-8$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{3,2}{-8}$
$x \le -0,4$

2. Второе неравенство:
$1,5x - 2 < 4$
$1,5x < 4 + 2$
$1,5x < 6$
$x < \frac{6}{1,5}$
$x < 4$

3. Третье неравенство:
$4,1x + 10 < 1,6x + 5$
$4,1x - 1,6x < 5 - 10$
$2,5x < -5$
$x < \frac{-5}{2,5}$
$x < -2$

Соберем полученные решения в систему:

$$ \begin{cases} x \le -0,4, \\ x < 4, \\ x < -2. \end{cases} $$

Нам нужно найти пересечение трех множеств: $x \in (-\infty; -0,4]$, $x \in (-\infty; 4)$ и $x \in (-\infty; -2)$. Самым строгим из этих условий является $x < -2$, так как если число меньше $-2$, оно автоматически меньше и $-0,4$, и $4$.

Следовательно, решением системы является промежуток $x < -2$.

Ответ: $ (-\infty; -2) $

201. Решите систему неравенств:

1) $ \begin{cases} -x < 2, \\ 2x > 7, \\ x < -4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - 1 < 2x + 2, \\ 2x + 1 > 8 - 5x, \\ 5x - 25 \le 0. \end{cases} $

1) Решим каждое неравенство данной системы по отдельности:

Первое неравенство: $-x < 2$. Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x > -2$.

Второе неравенство: $2x > 7$. Разделим обе части на 2: $x > \frac{7}{2}$, что равносильно $x > 3,5$.

Третье неравенство: $x < -4$. Это неравенство уже решено относительно $x$.

Теперь необходимо найти пересечение множеств решений всех трех неравенств, то есть найти такие значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $$ \begin{cases} x > -2 \\ x > 3,5 \\ x < -4 \end{cases} $$

Из первых двух неравенств ($x > -2$ и $x > 3,5$) следует более сильное условие $x > 3,5$.

Таким образом, система сводится к двум неравенствам: $$ \begin{cases} x > 3,5 \\ x < -4 \end{cases} $$

На числовой оси эти два множества не пересекаются. Не существует числа, которое было бы одновременно больше 3,5 и меньше -4. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим каждое неравенство данной системы по отдельности:

Первое неравенство: $3x - 1 < 2x + 2$. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$3x - 2x < 2 + 1$

$x < 3$

Второе неравенство: $2x + 1 > 8 - 5x$. Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а константы — в правую:

$2x + 5x > 8 - 1$

$7x > 7$

Разделим обе части на 7: $x > 1$.

Третье неравенство: $5x - 25 \le 0$. Перенесем константу в правую часть:

$5x \le 25$

Разделим обе части на 5: $x \le 5$.

Теперь найдем пересечение множеств решений всех трех неравенств, то есть найти такие значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $$ \begin{cases} x < 3 \\ x > 1 \\ x \le 5 \end{cases} $$

Объединяя первые два неравенства ($x < 3$ и $x > 1$), получаем двойное неравенство: $1 < x < 3$.

Теперь нужно учесть третье условие: $x \le 5$. Все значения $x$ из интервала $(1; 3)$ меньше 3, а значит, они автоматически меньше или равны 5. Следовательно, пересечение интервала $(1; 3)$ и множества $(-\infty; 5]$ является сам интервал $(1; 3)$.

Ответ: $x \in (1; 3)$.