Номер 222, страница 50 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

222. Известно, что $a$ – чётное число, $b$ – нечётное, $a > b$. Значение какого из данных выражений может быть целым числом:

1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{a};$

2) $\frac{a}{b} - \frac{b}{a};$

3) $\frac{a}{b};$

4) $\frac{b}{a}?$

По условию задачи дано, что $a$ — чётное число, $b$ — нечётное число, и $a > b$. Необходимо определить, значение какого из предложенных выражений может быть целым числом. Проанализируем каждый вариант.

1) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Приведем данное выражение к общему знаменателю: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}$.
Рассмотрим четность числителя и знаменателя получившейся дроби:
Поскольку $a$ — чётное число, то $a^2$ также является чётным (как произведение двух чётных чисел).
Поскольку $b$ — нечётное число, то $b^2$ также является нечётным (как произведение двух нечётных чисел).
Числитель $a^2+b^2$ представляет собой сумму чётного и нечётного чисел, что в результате всегда даёт нечётное число.
Знаменатель $ab$ представляет собой произведение чётного и нечётного чисел, что в результате всегда даёт чётное число.
Таким образом, мы имеем дробь, у которой числитель — нечётное число, а знаменатель — чётное. Нечётное число не делится нацело ни на какое чётное число. Следовательно, это выражение не может быть целым.
Ответ: не может быть целым числом.

2) $\frac{a}{b}-\frac{b}{a}$

Приведем выражение к общему знаменателю: $\frac{a}{b}-\frac{b}{a} = \frac{a^2-b^2}{ab}$.
Аналогично первому пункту, проанализируем четность числителя и знаменателя:
Числитель $a^2-b^2$ представляет собой разность чётного числа ($a^2$) и нечётного числа ($b^2$), что в результате всегда даёт нечётное число.
Знаменатель $ab$ является чётным числом.
Мы снова получили дробь с нечётным числителем и чётным знаменателем, которая не может равняться целому числу.
Ответ: не может быть целым числом.

3) $\frac{a}{b}$

Это выражение может быть целым, если чётное число $a$ делится нацело на нечётное число $b$. Это возможно.
Чтобы доказать это, достаточно привести один пример, удовлетворяющий всем условиям задачи.
Пусть $a = 6$ и $b = 3$.
Проверяем условия: $a=6$ — чётное, $b=3$ — нечётное, $a > b$ (так как $6 > 3$). Все условия выполнены.
Теперь вычислим значение выражения: $\frac{a}{b} = \frac{6}{3} = 2$.
Число $2$ является целым. Следовательно, значение этого выражения может быть целым числом.
Ответ: может быть целым числом.

4) $\frac{b}{a}$

Это выражение представляет собой частное от деления нечётного числа $b$ на чётное число $a$.
Для того чтобы значение этой дроби было целым, необходимо, чтобы знаменатель $a$ был делителем числителя $b$. Однако все делители нечётного числа $b$ также являются нечётными числами. Поскольку по условию $a$ — чётное, оно не может быть делителем нечётного числа $b$.
Кроме того, из условия $a > b$ (и предполагая, что числа положительные, как это обычно бывает в задачах на чётность/нечётность), следует, что $0 < \frac{b}{a} < 1$. Значение дроби находится между 0 и 1 и не может быть целым числом.
Ответ: не может быть целым числом.