Страница 40 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

169. Трёхзначное число $n$ таково, что числа $n-6$, $n-7$ и $n-8$ кратны числам 7, 8 и 9 соответственно. Найдите число $n$.

Согласно условию задачи, трёхзначное число $n$ удовлетворяет следующим условиям:

• число $n - 6$ кратно $7$;
• число $n - 7$ кратно $8$;
• число $n - 8$ кратно $9$.

Эти условия можно записать в виде системы сравнений по модулю:

$n - 6 \equiv 0 \pmod{7}$

$n - 7 \equiv 0 \pmod{8}$

$n - 8 \equiv 0 \pmod{9}$

Перенесем свободные члены в правую часть в каждом сравнении:

$n \equiv 6 \pmod{7}$

$n \equiv 7 \pmod{8}$

$n \equiv 8 \pmod{9}$

Заметим, что эти сравнения можно переписать иначе. Например, остаток $6$ при делении на $7$ эквивалентен остатку $-1$ (так как $6 - 7 = -1$). Аналогично для двух других сравнений:

$n \equiv -1 \pmod{7}$

$n \equiv -1 \pmod{8}$

$n \equiv -1 \pmod{9}$

Эта система означает, что число $n$ дает одинаковый остаток $-1$ при делении на $7, 8$ и $9$. Это равносильно тому, что число $n + 1$ делится нацело на $7, 8$ и $9$ без остатка.

Следовательно, число $n+1$ является общим кратным для чисел $7, 8$ и $9$. Чтобы найти такие числа $n$, нужно найти общие кратные $7, 8$ и $9$, которые определяются через их наименьшее общее кратное (НОК).

Найдем НОК для $7, 8$ и $9$. Эти числа являются попарно взаимно простыми (у них нет общих простых делителей: $7$ — простое число, $8=2^3$, $9=3^2$). Поэтому их НОК равно их произведению:

$\text{НОК}(7, 8, 9) = 7 \cdot 8 \cdot 9 = 56 \cdot 9 = 504$.

Значит, $n+1$ должно быть кратно $504$. То есть, $n+1$ может быть равно $504, 1008, 1512, \ldots$.

Это можно записать в виде формулы: $n + 1 = 504k$, где $k$ — натуральное число ($k \ge 1$).

Отсюда выразим $n$: $n = 504k - 1$.

По условию задачи, $n$ — трёхзначное число, то есть $100 \le n \le 999$. Подставим выражение для $n$ в это двойное неравенство:

$100 \le 504k - 1 \le 999$.

Проверим возможные натуральные значения $k$:

• При $k=1$: $n = 504 \cdot 1 - 1 = 503$. Это число является трёхзначным ($100 \le 503 \le 999$), следовательно, оно является решением.
• При $k=2$: $n = 504 \cdot 2 - 1 = 1008 - 1 = 1007$. Это число является четырёхзначным, поэтому оно не удовлетворяет условию.

При больших значениях $k$ число $n$ также будет больше $999$. Таким образом, единственное подходящее значение $n$ — это $503$.

Проверим найденное решение:

• $n - 6 = 503 - 6 = 497$. $497 \div 7 = 71$. (кратно 7)
• $n - 7 = 503 - 7 = 496$. $496 \div 8 = 62$. (кратно 8)
• $n - 8 = 503 - 8 = 495$. $495 \div 9 = 55$. (кратно 9)

Все условия выполнены.

Ответ: $503$.