Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

127. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{13-2x}$;

2) $f(x) = \frac{x}{\sqrt{-x-1}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{13 - 2x}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Запишем и решим соответствующее неравенство:

$13 - 2x \ge 0$

Перенесем 13 в правую часть неравенства, изменив знак:

$-2x \ge -13$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-13}{-2}$

$x \le 6,5$

Таким образом, область определения функции — это все числа, меньшие или равные 6,5. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; 6,5]$.

Ответ: $(-\infty; 6,5]$.

2) Область определения функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{-x - 1}}$ определяется двумя условиями одновременно: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а во-вторых, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Так как корень из нуля равен нулю, эти два условия объединяются в одно: выражение, стоящее под знаком корня в знаменателе, должно быть строго больше нуля.

Составим и решим это строгое неравенство:

$-x - 1 > 0$

Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:

$-x > 1$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x < -1$

Следовательно, область определения функции — это все числа, строго меньшие -1. В виде числового промежутка это записывается как $(-\infty; -1)$.

Ответ: $(-\infty; -1)$.

128. Решите неравенство:

1) $8x + 2 < 9x - 3;$

2) $6 - 6x > 10 - 4x;$

3) $6y + 8 \le 10y - 8;$

4) $3 - 11y \ge -3y + 6;$

5) $-8p - 2 < 3 - 10p;$

6) $3m - 1 \le 1,5m + 5.$

1) Исходное неравенство: $8x + 2 < 9x - 3$.
Для решения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую. Перенесем $8x$ в правую часть, а $-3$ в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$2 + 3 < 9x - 8x$
Приводим подобные слагаемые в обеих частях:
$5 < x$
Это неравенство равносильно $x > 5$. Решением является интервал от 5 до плюс бесконечности, не включая 5.
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $6 - 6x > 10 - 4x$.
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$6 - 10 > -4x + 6x$
Приводим подобные слагаемые:
$-4 > 2x$
Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$-2 > x$
Это неравенство равносильно $x < -2$. Решением является интервал от минус бесконечности до -2, не включая -2.
Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

3) Исходное неравенство: $6y + 8 \le 10y - 8$.
Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$8 + 8 \le 10y - 6y$
Приводим подобные слагаемые:
$16 \le 4y$
Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:
$4 \le y$
Это неравенство равносильно $y \ge 4$. Решением является числовой луч от 4 до плюс бесконечности, включая 4.
Ответ: $y \in [4; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $3 - 11y \ge -3y + 6$.
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-11y + 3y \ge 6 - 3$
Приводим подобные слагаемые:
$-8y \ge 3$
Разделим обе части неравенства на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$y \le \frac{3}{-8}$
$y \le -\frac{3}{8}$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до $-3/8$, включая $-3/8$.
Ответ: $y \in (-\infty; -3/8]$.

5) Исходное неравенство: $-8p - 2 < 3 - 10p$.
Перенесем слагаемые с $p$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-8p + 10p < 3 + 2$
Приводим подобные слагаемые:
$2p < 5$
Разделим обе части неравенства на 2:
$p < \frac{5}{2}$
$p < 2.5$
Решением является интервал от минус бесконечности до 2.5, не включая 2.5.
Ответ: $p \in (-\infty; 2.5)$.

6) Исходное неравенство: $3m - 1 \le 1.5m + 5$.
Перенесем слагаемые с $m$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$3m - 1.5m \le 5 + 1$
Приводим подобные слагаемые:
$1.5m \le 6$
Разделим обе части неравенства на 1.5:
$m \le \frac{6}{1.5}$
$m \le 4$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до 4, включая 4.
Ответ: $m \in (-\infty; 4]$.

129. Решите неравенство:

1) $4 + 11x > 7 + 12x$;

2) $35x - 28 \le 32x + 2$;

3) $3x - 10 < 6x + 2$;

4) $6x - 3 \ge 2x - 25$.

1) Дано неравенство $4 + 11x > 7 + 12x$.

Для решения перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемых через знак неравенства их знак меняется на противоположный.

$11x - 12x > 7 - 4$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$-x > 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x < -3$

Решение можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; -3)$.

2) Дано неравенство $35x - 28 \le 32x + 2$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую.

$35x - 32x \le 2 + 28$

Приведем подобные слагаемые:

$3x \le 30$

Разделим обе части неравенства на положительное число $3$. Знак неравенства при этом не меняется.

$x \le \frac{30}{3}$

$x \le 10$

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; 10]$.

3) Дано неравенство $3x - 10 < 6x + 2$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а числа — в правой:

$3x - 6x < 2 + 10$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x < 12$

Разделим обе части неравенства на $-3$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x > \frac{12}{-3}$

$x > -4$

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-4; +\infty)$.

4) Дано неравенство $6x - 3 \ge 2x - 25$.

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$6x - 2x \ge -25 + 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4x \ge -22$

Разделим обе части неравенства на положительное число $4$. Знак неравенства сохраняется.

$x \ge \frac{-22}{4}$

Сократим дробь в правой части:

$x \ge -\frac{11}{2}$

Или в виде десятичной дроби: $x \ge -5.5$.

Решение в виде числового промежутка.

Ответ: $[-\frac{11}{2}; +\infty)$.

130. При каких значениях $x$ значения двучлена $9x - 2$ не больше, чем соответствующие значения двучлена $4x + 4$?

Для того чтобы найти значения переменной c, при которых значение двучлена $9c - 2$ не больше, чем соответствующее значение двучлена $4c + 4$, необходимо составить и решить неравенство.

Условие "не больше" означает "меньше или равно", что записывается с помощью знака $\leq$. Таким образом, мы получаем следующее неравенство:

$9c - 2 \leq 4c + 4$

Теперь решим это линейное неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную c, в левую часть неравенства, а постоянные слагаемые (числа) — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знак меняется на противоположный.

$9c - 4c \leq 4 + 2$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$5c \leq 6$

Чтобы найти c, разделим обе части неравенства на коэффициент при переменной, то есть на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства при делении не изменяется:

$c \leq \frac{6}{5}$

Для удобства можно представить дробь $\frac{6}{5}$ в виде десятичной дроби:

$c \leq 1.2$

Следовательно, неравенство выполняется для всех значений c, которые меньше или равны 1.2. Этот результат также можно записать в виде числового промежутка: $c \in (-\infty; 1.2]$.

Ответ: $c \leq 1.2$.

131. При каких значениях $k$ значения двучлена $11k - 3$ не меньше, чем соответствующие значения двучлена $15k - 13$?

Условие "значения двучлена $11k - 3$ не меньше, чем соответствующие значения двучлена $15k - 13$" означает, что значение первого выражения больше или равно значению второго. Это можно записать в виде неравенства:

$11k - 3 \ge 15k - 13$

Для решения этого линейного неравенства сгруппируем слагаемые с переменной $k$ в левой части, а постоянные члены — в правой. При переносе слагаемого из одной части неравенства в другую его знак меняется на противоположный.

$11k - 15k \ge -13 + 3$

Выполним вычисления в обеих частях неравенства:

$-4k \ge -10$

Теперь разделим обе части неравенства на коэффициент при $k$, то есть на -4. Важно помнить, что при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (в данном случае $\ge$ на $\le$):

$k \le \frac{-10}{-4}$

Упростим полученную дробь:

$k \le \frac{5}{2}$

Или в десятичном виде:

$k \le 2.5$

Это означает, что исходное условие выполняется для всех значений $k$, которые меньше или равны 2.5.

Ответ: при $k \le 2.5$.

132. Решите неравенство:

1) $\frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11;$

2) $\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4} \geq \frac{1}{6};$

3) $\frac{5x}{7} - x > -4;$

4) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \leq x.$

1) $\frac{4x}{3} + \frac{x}{2} < 11$

Для решения этого неравенства сначала избавимся от дробей. Для этого найдем наименьший общий знаменатель для дробей в левой части. Знаменатели равны 3 и 2, их наименьшее общее кратное (НОК) равно 6.

Умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$6 \cdot \left(\frac{4x}{3} + \frac{x}{2}\right) < 6 \cdot 11$

Раскроем скобки:

$\frac{6 \cdot 4x}{3} + \frac{6 \cdot x}{2} < 66$

$2 \cdot 4x + 3 \cdot x < 66$

Упростим выражение в левой части:

$8x + 3x < 66$

$11x < 66$

Теперь разделим обе части неравенства на 11. Так как 11 > 0, знак неравенства сохраняется.

$x < \frac{66}{11}$

$x < 6$

Решением является множество всех чисел, меньших 6. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

2) $\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4} \ge \frac{1}{6}$

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 3, 4 и 6. НОК(3, 4, 6) = 12.

Умножим обе части неравенства на 12. Знак неравенства не меняется, так как 12 > 0.

$12 \cdot \left(\frac{2x}{3} - \frac{3x}{4}\right) \ge 12 \cdot \frac{1}{6}$

$\frac{12 \cdot 2x}{3} - \frac{12 \cdot 3x}{4} \ge \frac{12}{6}$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 3x \ge 2$

Упростим левую часть:

$8x - 9x \ge 2$

$-x \ge 2$

Чтобы найти $x$, умножим (или разделим) обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( $\ge$ на $\le$ ).

$x \le -2$

Решением является множество всех чисел, меньших или равных -2. В виде интервала это записывается как $(-\infty; -2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2]$.

3) $\frac{5x}{7} - x > -4$

Сначала приведем члены с $x$ в левой части к общему знаменателю. Представим $x$ как $\frac{7x}{7}$.

$\frac{5x}{7} - \frac{7x}{7} > -4$

$\frac{5x - 7x}{7} > -4$

$\frac{-2x}{7} > -4$

Умножим обе части неравенства на 7, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства не меняется.

$-2x > -4 \cdot 7$

$-2x > -28$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ( $>$ на < ).

$x < \frac{-28}{-2}$

$x < 14$

Решением является множество всех чисел, меньших 14. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 14)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 14)$.

4) $\frac{x}{8} - \frac{1}{4} \le x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части неравенства, а константы — в другой. Перенесем $\frac{x}{8}$ в правую часть, а $x$ в левую. Или, проще, перенесем $\frac{x}{8}$ в правую часть.

$-\frac{1}{4} \le x - \frac{x}{8}$

Приведем подобные слагаемые в правой части. Общий знаменатель равен 8.

$-\frac{1}{4} \le \frac{8x}{8} - \frac{x}{8}$

$-\frac{1}{4} \le \frac{7x}{8}$

Теперь умножим обе части неравенства на 8, чтобы избавиться от знаменателя в правой части. Знак неравенства не меняется.

$8 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) \le 7x$

$-2 \le 7x$

Разделим обе части на 7. Знак неравенства не меняется.

$-\frac{2}{7} \le x$

Это неравенство можно записать как $x \ge -\frac{2}{7}$.

Решением является множество всех чисел, больших или равных $-\frac{2}{7}$. В виде интервала это записывается как $[-\frac{2}{7}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{7}; +\infty)$.

133. Решите неравенство:

1) $ \frac{y}{6} - \frac{5y}{4} < 1; $

2) $ \frac{x}{10} - \frac{x}{5} > -2. $

1) Решим неравенство $\frac{y}{6} - \frac{5y}{4} < 1$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель чисел 6 и 4. Наименьшее общее кратное для 6 и 4 равно 12. Так как 12 — число положительное, знак неравенства при умножении не изменится.

$12 \cdot \left(\frac{y}{6} - \frac{5y}{4}\right) < 12 \cdot 1$

Раскроем скобки:

$12 \cdot \frac{y}{6} - 12 \cdot \frac{5y}{4} < 12$

$2y - 3 \cdot 5y < 12$

$2y - 15y < 12$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$-13y < 12$

Теперь разделим обе части неравенства на -13. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

$y > \frac{12}{-13}$

$y > -\frac{12}{13}$

Ответ: $y > -\frac{12}{13}$

2) Решим неравенство $\frac{x}{10} - \frac{x}{5} > -2$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства сохраняется.

$10 \cdot \left(\frac{x}{10} - \frac{x}{5}\right) > 10 \cdot (-2)$

Выполним умножение:

$10 \cdot \frac{x}{10} - 10 \cdot \frac{x}{5} > -20$

$x - 2x > -20$

Упростим выражение в левой части:

$-x > -20$

Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 20$

Ответ: $x < 20$

134. Решите неравенство:

1) $3 - 5(2x + 4) \ge 7 - 2x;$

2) $6x - 3(x - 1) \le 2 + 5x;$

3) $x - 2(x - 1) \ge 10 + 3(x + 4);$

4) $2(2x - 3.5) - 3(2 - 3x) < 6(1 - x);$

5) $(x + 1)(x - 2) \le (x - 3)(x + 3);$

6) $(4x - 3)^2 + (3x + 2)^2 \ge (5x + 1)^2;$

7) $\frac{2x - 1}{4} \ge \frac{3x - 5}{5};$

8) $\frac{3x + 7}{4} - \frac{5x - 2}{2} < x;$

9) $(x - 5)(x + 1) \le 3 + (x - 2)^2;$

10) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6};$

11) $(6x - 1)^2 - 4x(9x - 3) \le 1;$

12) $\frac{x - 3}{9} - \frac{x + 4}{4} > \frac{x - 8}{6}.$

1) $3 - 5(2x + 4) \geq 7 - 2x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$3 - 10x - 20 \geq 7 - 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-17 - 10x \geq 7 - 2x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $-10x$ вправо, а $7$ влево, изменив их знаки:

$-17 - 7 \geq 10x - 2x$

$-24 \geq 8x$

Разделим обе части на 8. Так как 8 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$-3 \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3]$

2) $6x - 3(x - 1) \leq 2 + 5x$

Раскроем скобки:

$6x - 3x + 3 \leq 2 + 5x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$3x + 3 \leq 2 + 5x$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$3 - 2 \leq 5x - 3x$

$1 \leq 2x$

Разделим обе части на 2:

$0.5 \leq x$

Это эквивалентно записи $x \geq 0.5$.

Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$

3) $x - 2(x - 1) \geq 10 + 3(x + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$x - 2x + 2 \geq 10 + 3x + 12$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-x + 2 \geq 3x + 22$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$2 - 22 \geq 3x + x$

$-20 \geq 4x$

Разделим обе части на 4:

$-5 \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5]$

4) $2(2x - 3.5) - 3(2 - 3x) < 6(1 - x)$

Раскроем все скобки:

$4x - 7 - 6 + 9x < 6 - 6x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$13x - 13 < 6 - 6x$

Перенесем слагаемые с $x$ влево, а числа вправо:

$13x + 6x < 6 + 13$

$19x < 19$

Разделим обе части на 19:

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

5) $(x + 1)(x - 2) \leq (x - 3)(x + 3)$

Раскроем скобки. В левой части перемножим многочлены, в правой используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$x^2 - 2x + x - 2 \leq x^2 - 9$

Приведем подобные слагаемые слева:

$x^2 - x - 2 \leq x^2 - 9$

Уберем $x^2$ из обеих частей:

$-x - 2 \leq -9$

Перенесем -2 вправо:

$-x \leq -9 + 2$

$-x \leq -7$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geq 7$

Ответ: $x \in [7; +\infty)$

6) $(4x - 3)^2 + (3x + 2)^2 \geq (5x + 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы/разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(16x^2 - 24x + 9) + (9x^2 + 12x + 4) \geq 25x^2 + 10x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$25x^2 - 12x + 13 \geq 25x^2 + 10x + 1$

Уберем $25x^2$ из обеих частей:

$-12x + 13 \geq 10x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$13 - 1 \geq 10x + 12x$

$12 \geq 22x$

Разделим обе части на 22:

$\frac{12}{22} \geq x$

Сократим дробь:

$\frac{6}{11} \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq \frac{6}{11}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{6}{11}]$

7) $\frac{2x - 1}{4} \geq \frac{3x - 5}{5}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 5, то есть на 20. Так как 20 > 0, знак неравенства не изменится:

$20 \cdot \frac{2x - 1}{4} \geq 20 \cdot \frac{3x - 5}{5}$

$5(2x - 1) \geq 4(3x - 5)$

Раскроем скобки:

$10x - 5 \geq 12x - 20$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$-5 + 20 \geq 12x - 10x$

$15 \geq 2x$

$7.5 \geq x$

Это эквивалентно записи $x \leq 7.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 7.5]$

8) $\frac{3x + 7}{4} - \frac{5x - 2}{2} < x$

Умножим все части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2, то есть на 4:

$4 \cdot \frac{3x + 7}{4} - 4 \cdot \frac{5x - 2}{2} < 4 \cdot x$

$(3x + 7) - 2(5x - 2) < 4x$

Раскроем скобки:

$3x + 7 - 10x + 4 < 4x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$-7x + 11 < 4x$

Перенесем $-7x$ вправо:

$11 < 4x + 7x$

$11 < 11x$

Разделим обе части на 11:

$1 < x$

Это эквивалентно записи $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

9) $(x - 5)(x + 1) \leq 3 + (x - 2)^2$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x^2 + x - 5x - 5 \leq 3 + (x^2 - 4x + 4)$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x - 5 \leq x^2 - 4x + 7$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 4x - 5 - x^2 + 4x - 7 \leq 0$

$(x^2 - x^2) + (-4x + 4x) + (-5 - 7) \leq 0$

$-12 \leq 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

10) $\frac{x + 1}{2} - \frac{x - 3}{3} > 2 + \frac{x}{6}$

Умножим все части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3 и 6, то есть на 6:

$6 \cdot \frac{x + 1}{2} - 6 \cdot \frac{x - 3}{3} > 6 \cdot 2 + 6 \cdot \frac{x}{6}$

$3(x + 1) - 2(x - 3) > 12 + x$

Раскроем скобки:

$3x + 3 - 2x + 6 > 12 + x$

Приведем подобные слагаемые слева:

$x + 9 > 12 + x$

Перенесем $x$ из правой части в левую:

$x - x > 12 - 9$

$0 > 3$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$

11) $(6x - 1)^2 - 4x(9x - 3) \leq 1$

Раскроем скобки в левой части:

$(36x^2 - 12x + 1) - (36x^2 - 12x) \leq 1$

$36x^2 - 12x + 1 - 36x^2 + 12x \leq 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 36x^2) + (-12x + 12x) + 1 \leq 1$

$1 \leq 1$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

12) $\frac{x - 3}{9} - \frac{x + 4}{4} > \frac{x - 8}{6}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 9, 4 и 6. $НОК(9, 4, 6) = 36$. Умножим все части неравенства на 36:

$36 \cdot \frac{x - 3}{9} - 36 \cdot \frac{x + 4}{4} > 36 \cdot \frac{x - 8}{6}$

$4(x - 3) - 9(x + 4) > 6(x - 8)$

Раскроем скобки:

$4x - 12 - 9x - 36 > 6x - 48$

Приведем подобные слагаемые слева:

$-5x - 48 > 6x - 48$

Перенесем слагаемые с $x$ вправо, а числа влево:

$-48 + 48 > 6x + 5x$

$0 > 11x$

Разделим обе части на 11:

$0 > x$

Это эквивалентно записи $x < 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$