Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

94. Какие из чисел $-4; -0,5; 0; \frac{1}{3}; 2$ являются решениями неравенства:

1) $x > \frac{1}{6};$

2) $x \le 5;$

3) $3x > x - 1;$

4) $x^2 - 9 \le 0;$

5) $\sqrt{x - 1} > 1;$

6) $\frac{1}{x} > 1?$

1) Для неравенства $x > \frac{1}{6}$ нужно проверить, какие из предложенных чисел больше $\frac{1}{6}$ (это примерно $0,167$).
- $x = -4$: $-4 > \frac{1}{6}$ (неверно).
- $x = -0,5$: $-0,5 > \frac{1}{6}$ (неверно).
- $x = 0$: $0 > \frac{1}{6}$ (неверно).
- $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > \frac{1}{6}$ (верно, так как $\frac{2}{6} > \frac{1}{6}$).
- $x = 2$: $2 > \frac{1}{6}$ (верно).

Ответ: $\frac{1}{3}; 2$.

2) Для неравенства $x \le 5$ нужно проверить, какие из предложенных чисел меньше или равны 5.
- $x = -4$: $-4 \le 5$ (верно).
- $x = -0,5$: $-0,5 \le 5$ (верно).
- $x = 0$: $0 \le 5$ (верно).
- $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \le 5$ (верно).
- $x = 2$: $2 \le 5$ (верно).
Все предложенные числа являются решениями этого неравенства.

Ответ: $-4; -0,5; 0; \frac{1}{3}; 2$.

3) Сначала упростим неравенство $3x > x - 1$:
$3x - x > -1$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$ или $x > -0,5$.
Теперь проверим, какие из чисел удовлетворяют этому условию:
- $x = -4$: $-4 > -0,5$ (неверно).
- $x = -0,5$: $-0,5 > -0,5$ (неверно, так как числа равны).
- $x = 0$: $0 > -0,5$ (верно).
- $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > -0,5$ (верно).
- $x = 2$: $2 > -0,5$ (верно).

Ответ: $0; \frac{1}{3}; 2$.

4) Решим неравенство $x^2 - 9 \le 0$:
$x^2 \le 9$
Это неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $-3 \le x \le 3$.
Проверим, какие из предложенных чисел попадают в этот промежуток:
- $x = -4$: не попадает в промежуток $[-3; 3]$ (неверно).
- $x = -0,5$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).
- $x = 0$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).
- $x = \frac{1}{3}$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).
- $x = 2$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).

Ответ: $-0,5; 0; \frac{1}{3}; 2$.

5) Для неравенства $\sqrt{x-1} > 1$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Из предложенных чисел этому условию удовлетворяет только $x=2$. Остальные числа ($-4, -0,5, 0, \frac{1}{3}$) не входят в ОДЗ.
Проверим число $x=2$, подставив его в неравенство:
$\sqrt{2-1} > 1$
$\sqrt{1} > 1$
$1 > 1$ (неверно).
Следовательно, ни одно из данных чисел не является решением.

Ответ: таких чисел нет.

6) Для неравенства $\frac{1}{x} > 1$ заметим, что $x$ не может быть равен 0. Чтобы дробь была больше 1, знаменатель $x$ должен быть положительным и меньше 1. Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0; 1)$.
Проверим, какие из предложенных чисел попадают в этот интервал:
- $x = -4$: не попадает в $(0; 1)$ (неверно).
- $x = -0,5$: не попадает в $(0; 1)$ (неверно).
- $x = 0$: не входит в область определения.
- $x = \frac{1}{3}$: попадает в $(0; 1)$ (верно).
- $x = 2$: не попадает в $(0; 1)$ (неверно).

Ответ: $\frac{1}{3}$.

95. Какое из данных чисел является решением неравенства $(x - 2)^2(x - 5) > 0:$

1) 3;

2) 2;

3) 6;

4) -1?

Чтобы определить, какое из предложенных чисел является решением неравенства $(x - 2)^2(x - 5) > 0$, можно поочередно подставить каждое из этих чисел вместо $x$ и проверить, выполняется ли неравенство.

Подставим $x = 3$ в левую часть неравенства:

$(3 - 2)^2(3 - 5) = 1^2 \cdot (-2) = 1 \cdot (-2) = -2$.

Неравенство $-2 > 0$ является ложным. Следовательно, число 3 не является решением.

Подставим $x = 2$ в левую часть неравенства:

$(2 - 2)^2(2 - 5) = 0^2 \cdot (-3) = 0 \cdot (-3) = 0$.

Неравенство $0 > 0$ является ложным (неравенство строгое). Следовательно, число 2 не является решением.

Подставим $x = 6$ в левую часть неравенства:

$(6 - 2)^2(6 - 5) = 4^2 \cdot 1 = 16 \cdot 1 = 16$.

Неравенство $16 > 0$ является истинным. Следовательно, число 6 является решением.

Подставим $x = -1$ в левую часть неравенства:

$(-1 - 2)^2(-1 - 5) = (-3)^2 \cdot (-6) = 9 \cdot (-6) = -54$.

Неравенство $-54 > 0$ является ложным. Следовательно, число -1 не является решением.

Таким образом, из предложенных вариантов только число 6 является решением неравенства.

Альтернативный способ (решение неравенства методом интервалов):

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 2)^2(x - 5)$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) > 0$.

1. Найдём нули функции, решив уравнение $(x - 2)^2(x - 5) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x-2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$
$x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$
Нули функции: $x=2$ и $x=5$.

2. Отметим эти точки на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; 2)$, $(2; 5)$ и $(5; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале.

• На интервале $(5; +\infty)$ возьмём пробную точку $x=10$: $(10-2)^2(10-5) = 8^2 \cdot 5 = 320$. Результат положительный ($+$).
• На интервале $(2; 5)$ возьмём пробную точку $x=3$: $(3-2)^2(3-5) = 1^2 \cdot (-2) = -2$. Результат отрицательный ($-$).
• На интервале $(-\infty; 2)$ возьмём пробную точку $x=0$: $(0-2)^2(0-5) = (-2)^2 \cdot (-5) = -20$. Результат отрицательный ($-$).

Заметим, что при переходе через корень $x=2$ знак функции не меняется, так как скобка $(x-2)$ возведена в чётную степень (2).

4. Нам нужно найти, где $(x - 2)^2(x - 5) > 0$. Это соответствует интервалам со знаком «$+$». Таким интервалом является $(5; +\infty)$.

5. Из предложенных чисел $3, 2, 6, -1$ только число 6 принадлежит этому интервалу.

Ответ: 6

96. Является ли решением неравенства $6x + 1 \leq 2 + 7x$ число:

1) -0,1;

2) -2;

3) 0;

4) -1;

5) 2?

Чтобы определить, является ли указанное число решением неравенства, можно сначала найти общее решение этого неравенства, а затем проверить, принадлежит ли ему данное число. Также можно подставить число вместо переменной $x$ в исходное неравенство и проверить, выполняется ли оно.

Сначала решим неравенство $6x + 1 \le 2 + 7x$.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 7x \le 2 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$-x \le 1$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \ge -1$
Таким образом, решением неравенства является любое число из промежутка $[-1; +\infty)$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

1) -0,1;
Число $-0,1$ принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как выполняется условие $-0,1 \ge -1$.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(-0,1) + 1 \le 2 + 7(-0,1) \implies -0,6 + 1 \le 2 - 0,7 \implies 0,4 \le 1,3$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

2) -2;
Число $-2$ не принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как условие $-2 \ge -1$ не выполняется.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(-2) + 1 \le 2 + 7(-2) \implies -12 + 1 \le 2 - 14 \implies -11 \le -12$. Неравенство неверное.
Ответ: нет, не является.

3) 0;
Число $0$ принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как выполняется условие $0 \ge -1$.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(0) + 1 \le 2 + 7(0) \implies 0 + 1 \le 2 + 0 \implies 1 \le 2$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

4) -1;
Число $-1$ является граничной точкой промежутка $[-1; +\infty)$ и принадлежит ему, так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$).
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(-1) + 1 \le 2 + 7(-1) \implies -6 + 1 \le 2 - 7 \implies -5 \le -5$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

5) 2?
Число $2$ принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как выполняется условие $2 \ge -1$.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(2) + 1 \le 2 + 7(2) \implies 12 + 1 \le 2 + 14 \implies 13 \le 16$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

97. Назовите какие-нибудь два решения неравенства $x + 5 > 2x + 3$.

Для того чтобы найти какие-нибудь два решения неравенства, сначала решим это неравенство и найдем множество всех его решений.

Исходное неравенство:
$x + 5 > 2x + 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть неравенства, а свободные члены — в другую. Вычтем $x$ из обеих частей и вычтем $3$ из обеих частей.
$5 - 3 > 2x - x$

Упростим обе части неравенства:
$2 > x$

Данное неравенство эквивалентно записи $x < 2$. Это означает, что любое число, которое строго меньше двух, является решением. Множество решений можно записать в виде интервала $(-\infty; 2)$.

Теперь нам нужно выбрать любые два числа из этого множества.

Первое решение:
Возьмем, к примеру, $x = 1$. Так как $1 < 2$, это значение является решением.
Проверка: подставим $x=1$ в исходное неравенство: $1 + 5 > 2(1) + 3 \implies 6 > 5$. Неравенство выполняется.

Второе решение:
Возьмем, к примеру, $x = -3$. Так как $-3 < 2$, это значение также является решением.
Проверка: подставим $x=-3$ в исходное неравенство: $-3 + 5 > 2(-3) + 3 \implies 2 > -6 + 3 \implies 2 > -3$. Неравенство выполняется.

Ответ: Два возможных решения неравенства: $x=1$ и $x=-3$.

98. Является ли число 1,99 решением неравенства $x < 2$? Существуют ли решения данного неравенства, которые больше 1,99? В случае утвердительного ответа приведите пример такого решения.

Является ли число 1,99 решением неравенства $x < 2$?

Для того чтобы проверить, является ли число 1,99 решением неравенства $x < 2$, необходимо подставить это значение вместо переменной $x$ и убедиться в верности полученного числового неравенства.

Подставляем $x = 1,99$ в неравенство:

$1,99 < 2$

Данное неравенство является верным, так как число 1,99 находится на числовой оси левее числа 2, то есть оно меньше. Следовательно, 1,99 является решением неравенства $x < 2$.

Ответ: да, является.

Существуют ли решения данного неравенства, которые больше 1,99?

Решениями неравенства $x < 2$ является множество всех чисел, которые меньше 2. Нам нужно определить, существуют ли в этом множестве числа, которые в то же время больше 1,99.

Это означает, что мы ищем числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству:

$1,99 < x < 2$

Между любыми двумя различными действительными числами (в данном случае 1,99 и 2) всегда существует бесконечное множество других действительных чисел. Любое число, принадлежащее интервалу $(1,99; 2)$, будет являться решением исходного неравенства и при этом будет больше, чем 1,99.

Ответ: да, существуют.

В случае утвердительного ответа приведите пример такого решения.

Поскольку мы выяснили, что такие решения существуют, мы можем привести конкретный пример. Нам нужно выбрать любое число, которое строго больше 1,99 и строго меньше 2.

Например, можно взять число 1,995. Это число удовлетворяет обоим условиям:

1. $1,995 < 2$ (является решением исходного неравенства).

2. $1,995 > 1,99$ (больше, чем 1,99).

В качестве примера можно также привести числа 1,991, 1,992, 1,999 и так далее.

Ответ: например, 1,995.

99. Является ли число 4,001 решением неравенства $x > 4$? Существуют ли решения данного неравенства, которые меньше 4,001? В случае утвердительного ответа приведите пример такого решения.

Является ли число 4,001 решением неравенства x > 4?

Чтобы определить, является ли число 4,001 решением неравенства $x > 4$, необходимо подставить это число вместо $x$ и проверить истинность полученного высказывания.

Подставляем 4,001 в неравенство: $4,001 > 4$.

Это неравенство является верным, поскольку число 4,001 больше числа 4. Целые части у чисел одинаковые (4), но у числа 4,001 есть положительная дробная часть 0,001, что делает его больше 4.

Ответ: да, является.

Существуют ли решения данного неравенства, которые меньше 4,001?

Да, такие решения существуют. Решением неравенства $x > 4$ является любое число, которое больше 4. Нам нужно найти такое решение $y$, чтобы оно удовлетворяло двум условиям одновременно: $y > 4$ и $y < 4,001$.

Это можно записать в виде двойного неравенства: $4 < y < 4,001$.

Между любыми двумя различными действительными числами, в данном случае между 4 и 4,001, существует бесконечное множество других чисел. Любое число из этого интервала будет решением исходного неравенства и при этом будет меньше 4,001.

Ответ: да, существуют.

В случае утвердительного ответа приведите пример такого решения.

Нужно найти любое число, которое находится в интервале $(4; 4,001)$.

В качестве примера можно взять число 4,0005. Проверим, удовлетворяет ли оно условиям:

1. $4,0005 > 4$ (верно, значит, это решение неравенства).

2. $4,0005 < 4,001$ (верно, значит, оно меньше 4,001).

Таким образом, 4,0005 является подходящим примером. Другими примерами могут служить числа 4,0001, 4,0002, 4,0007 и т.д.

Ответ: например, число 4,0005.

100. Множеством решений какого из данных неравенств является пустое множество:

1) $(x - 3)^2 > 0;$

2) $(x - 3)^2 \ge 0;$

3) $(x - 3)^2 < 0;$

4) $(x - 3)^2 \le 0?$

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств имеет пустое множество решений, необходимо проанализировать каждое из них. Ключевым моментом для решения является свойство квадрата любого действительного числа: квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Для выражения $(x-3)^2$ это означает, что $(x-3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

1) $(x - 3)^2 > 0$

Это неравенство утверждает, что квадрат выражения $(x-3)$ строго больше нуля. Мы знаем, что $(x-3)^2 \ge 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только в одном случае: $(x-3)^2 = 0$ $x-3 = 0$ $x = 3$ Следовательно, неравенство $(x - 3)^2 > 0$ верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=3$. Множество решений этого неравенства — $(-\infty; 3) \cup (3; \infty)$, что не является пустым множеством.

Ответ: Множество решений не является пустым.

2) $(x - 3)^2 \ge 0$

Это неравенство утверждает, что квадрат выражения $(x-3)$ больше или равен нулю. Как было упомянуто, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поэтому это неравенство справедливо для абсолютно любого значения $x$. Множество решений — все действительные числа, то есть $(-\infty; \infty)$. Это не пустое множество.

Ответ: Множество решений не является пустым.

3) $(x - 3)^2 < 0$

Это неравенство требует, чтобы квадрат выражения $(x-3)$ был строго меньше нуля, то есть отрицательным. Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он всегда больше или равен нулю. Таким образом, не существует такого значения $x$, для которого данное неравенство было бы верным.

Ответ: Множество решений является пустым.

4) $(x - 3)^2 \le 0$

Это неравенство можно рассматривать как совокупность двух условий: $(x - 3)^2 < 0$ или $(x - 3)^2 = 0$. Как мы уже выяснили в пункте 3, неравенство $(x - 3)^2 < 0$ не имеет решений. Равенство $(x - 3)^2 = 0$ имеет единственное решение $x = 3$. Следовательно, множество решений неравенства $(x - 3)^2 \le 0$ состоит из одного числа: $\{3\}$. Это не пустое множество.

Ответ: Множество решений не является пустым.

Таким образом, единственное неравенство, множеством решений которого является пустое множество, — это неравенство под номером 3.

Ответ: 3

101. Какие из данных неравенств не имеют решений:

1) $0x > -2$;

2) $0x < 2$;

3) $0x < -2$;

4) $0x > 2$?

Для того чтобы определить, какие из неравенств не имеют решений, необходимо проанализировать каждое из них, учитывая, что произведение любого числа $x$ на 0 всегда равно 0, то есть $0x = 0$.

1) Рассмотрим неравенство $0x > -2$.
Заменим выражение $0x$ на 0. Получим неравенство $0 > -2$.
Это числовое неравенство является верным, так как 0 действительно больше, чем -2. Поскольку это утверждение верно при любом значении $x$, решением неравенства является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).
Ответ: неравенство имеет решения.

2) Рассмотрим неравенство $0x < 2$.
Заменим выражение $0x$ на 0. Получим неравенство $0 < 2$.
Это числовое неравенство является верным. Следовательно, любое действительное число $x$ является решением данного неравенства.
Ответ: неравенство имеет решения.

3) Рассмотрим неравенство $0x < -2$.
Заменим выражение $0x$ на 0. Получим неравенство $0 < -2$.
Это числовое неравенство является неверным, так как 0 не меньше, а больше -2. Это означает, что не существует ни одного значения $x$, при котором данное неравенство было бы верным.
Ответ: неравенство не имеет решений.

4) Рассмотрим неравенство $0x > 2$.
Заменим выражение $0x$ на 0. Получим неравенство $0 > 2$.
Это числовое неравенство является неверным, так как 0 не больше, а меньше 2. Следовательно, данное неравенство не имеет решений ни при каком значении $x$.
Ответ: неравенство не имеет решений.

Таким образом, неравенства, которые не имеют решений, — это 3) и 4).

102. Множеством решений какого из данных неравенств является множество действительных чисел:

1) $0x > 1$;

2) $0x > 0$;

3) $0x > -1$;

4) $x + 1 > 0$?

Чтобы определить, для какого из данных неравенств множеством решений является множество всех действительных чисел, необходимо решить каждое неравенство и проанализировать его множество решений.

1) $0x > 1$

При любом действительном значении $x$ произведение в левой части, $0x$, равно 0. Таким образом, неравенство принимает вид $0 > 1$. Это числовое неравенство является ложным, поскольку 0 не больше 1. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

2) $0x > 0$

Аналогично первому случаю, левая часть неравенства всегда равна 0. Неравенство принимает вид $0 > 0$. Это строгое неравенство является ложным, так как число не может быть строго больше самого себя. Следовательно, это неравенство также не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (пустое множество).

3) $0x > -1$

Левая часть неравенства при любом значении $x$ равна 0. Неравенство принимает вид $0 > -1$. Это утверждение является истинным, так как 0 больше любого отрицательного числа. Поскольку это верно для абсолютно любого действительного числа $x$, то множеством решений данного неравенства является множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) $x + 1 > 0$

Это линейное неравенство. Для его решения перенесем 1 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный: $x > -1$. Решением этого неравенства являются все действительные числа, которые строго больше -1. Это множество не является множеством всех действительных чисел.

Ответ: $(-1; +\infty)$.

Проанализировав решения всех четырех неравенств, мы видим, что только у неравенства под номером 3 множеством решений является множество всех действительных чисел.

103. Решением какого из данных неравенств является любое действительное число:

1) $x^2 > 0$;

2) $x > -x$;

3) $-x^2 \le 0$;

4) $\sqrt{x} \ge 0?$

Для того чтобы определить, решением какого из предложенных неравенств является любое действительное число, необходимо проанализировать каждое из них.

1) $x^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство $x^2 > 0$ будет верным для всех действительных чисел, за исключением случая, когда $x^2 = 0$. Это происходит при $x = 0$. В точке $x=0$ неравенство $0 > 0$ является ложным. Следовательно, решением данного неравенства является не вся числовая прямая, а объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: не является.

2) $x > -x$
Для решения этого неравенства прибавим $x$ к обеим его частям:
$x + x > -x + x$
$2x > 0$
Разделим обе части на 2:
$x > 0$
Решением этого неравенства являются только положительные действительные числа. Это не все действительные числа.
Ответ: не является.

3) $-x^2 \le 0$
Рассмотрим выражение $x^2$. Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Если умножить это верное для любого $x$ неравенство на -1, то, согласно свойствам неравенств, знак неравенства изменится на противоположный:
$(-1) \cdot x^2 \le (-1) \cdot 0$
$-x^2 \le 0$
Данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$:
- если $x$ — положительное или отрицательное число, то $x^2 > 0$, а $-x^2 < 0$, что удовлетворяет условию $\le 0$.
- если $x = 0$, то $-x^2 = 0$, что также удовлетворяет условию $\le 0$.
Таким образом, решением неравенства является множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.
Ответ: является.

4) $\sqrt{x} \ge 0$
Выражение $\sqrt{x}$ (арифметический квадратный корень) по определению имеет смысл только для неотрицательных значений $x$, то есть область определения этого выражения — $x \ge 0$. Для отрицательных действительных чисел (например, $x = -1$) это выражение не определено в множестве действительных чисел.
Поскольку неравенство должно быть верным для *любого* действительного числа, а данное даже не определено для всех $x < 0$, оно не подходит.
Ответ: не является.