Номер 100, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

100. Множеством решений какого из данных неравенств является пустое множество:

1) $(x - 3)^2 > 0;$

2) $(x - 3)^2 \ge 0;$

3) $(x - 3)^2 < 0;$

4) $(x - 3)^2 \le 0?$

Чтобы определить, какое из предложенных неравенств имеет пустое множество решений, необходимо проанализировать каждое из них. Ключевым моментом для решения является свойство квадрата любого действительного числа: квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Для выражения $(x-3)^2$ это означает, что $(x-3)^2 \ge 0$ при любом значении $x$.

1) $(x - 3)^2 > 0$

Это неравенство утверждает, что квадрат выражения $(x-3)$ строго больше нуля. Мы знаем, что $(x-3)^2 \ge 0$ для всех $x$. Равенство нулю достигается только в одном случае: $(x-3)^2 = 0$ $x-3 = 0$ $x = 3$ Следовательно, неравенство $(x - 3)^2 > 0$ верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=3$. Множество решений этого неравенства — $(-\infty; 3) \cup (3; \infty)$, что не является пустым множеством.

Ответ: Множество решений не является пустым.

2) $(x - 3)^2 \ge 0$

Это неравенство утверждает, что квадрат выражения $(x-3)$ больше или равен нулю. Как было упомянуто, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поэтому это неравенство справедливо для абсолютно любого значения $x$. Множество решений — все действительные числа, то есть $(-\infty; \infty)$. Это не пустое множество.

Ответ: Множество решений не является пустым.

3) $(x - 3)^2 < 0$

Это неравенство требует, чтобы квадрат выражения $(x-3)$ был строго меньше нуля, то есть отрицательным. Однако квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он всегда больше или равен нулю. Таким образом, не существует такого значения $x$, для которого данное неравенство было бы верным.

Ответ: Множество решений является пустым.

4) $(x - 3)^2 \le 0$

Это неравенство можно рассматривать как совокупность двух условий: $(x - 3)^2 < 0$ или $(x - 3)^2 = 0$. Как мы уже выяснили в пункте 3, неравенство $(x - 3)^2 < 0$ не имеет решений. Равенство $(x - 3)^2 = 0$ имеет единственное решение $x = 3$. Следовательно, множество решений неравенства $(x - 3)^2 \le 0$ состоит из одного числа: $\{3\}$. Это не пустое множество.

Ответ: Множество решений не является пустым.

Таким образом, единственное неравенство, множеством решений которого является пустое множество, — это неравенство под номером 3.

Ответ: 3