Номер 105, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

105. Решите неравенство:

1) $\frac{2}{x^2} + 2 > 0;$

2) $(x + 2)^2 > 0;$

3) $(x + 2)^2 \le 0;$

4) $\frac{x + 2}{x + 2} > 0;$

5) $\frac{x + 2}{x + 2} > \frac{2}{3};$

6) $\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 > 0;$

7) $\left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 \ge 0;$

8) $x + \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x^2} + 2;$

9) $|x| \ge -x^2;$

10) $|x| > -x^2;$

11) $|x| > x;$

12) $|x| \ge -x.$

1) Исходное неравенство: $ \frac{2}{x^2} + 2 > 0 $.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $ x^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.
Для любого $ x $ из ОДЗ, выражение $ x^2 $ всегда положительно ($ x^2 > 0 $).
Следовательно, дробь $ \frac{2}{x^2} $ также всегда положительна.
Сумма двух положительных чисел ($ \frac{2}{x^2} $ и $ 2 $) всегда положительна.
Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $ x $, кроме $ x=0 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $.

2) Исходное неравенство: $ (x + 2)^2 > 0 $.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $ (x + 2)^2 \ge 0 $.
Неравенство является строгим, поэтому нам нужно исключить случай, когда выражение равно нулю.
$ (x + 2)^2 = 0 $ при $ x + 2 = 0 $, то есть при $ x = -2 $.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $ x = -2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) $.

3) Исходное неравенство: $ (x + 2)^2 \le 0 $.
Как было отмечено ранее, $ (x + 2)^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $.
Выражение $ (x + 2)^2 $ никогда не может быть строго меньше нуля.
Единственная возможность, при которой неравенство выполняется, — это равенство нулю: $ (x + 2)^2 = 0 $.
Это происходит при $ x + 2 = 0 $, то есть при $ x = -2 $.
Ответ: $ x = -2 $.

4) Исходное неравенство: $ \frac{x+2}{x+2} > 0 $.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $ x + 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.
При всех $ x $ из ОДЗ, выражение $ \frac{x+2}{x+2} $ равно 1.
Неравенство принимает вид $ 1 > 0 $, что является верным утверждением.
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x $ из ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) $.

5) Исходное неравенство: $ \frac{x+2}{x+2} > \frac{2}{3} $.
ОДЗ: $ x + 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.
При всех $ x $ из ОДЗ, выражение $ \frac{x+2}{x+2} $ равно 1.
Неравенство принимает вид $ 1 > \frac{2}{3} $, что является верным утверждением.
Таким образом, неравенство выполняется для всех $ x $ из ОДЗ.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) $.

6) Исходное неравенство: $ \left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2 > 0 $.
Квадрат выражения положителен тогда и только тогда, когда само выражение не равно нулю.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $ x - 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 2 $.
Условие $ \frac{x+2}{x-2} \neq 0 $ означает, что числитель не равен нулю: $ x + 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq -2 $.
Объединяя условия, получаем, что неравенство выполняется для всех действительных $ x $, кроме $ x=2 $ и $ x=-2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) $.

7) Исходное неравенство: $ \left(\frac{x+2}{x-2}\right)^2 \ge 0 $.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.
Поэтому неравенство выполняется для всех значений $ x $, при которых выражение в скобках определено.
ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю, $ x - 2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 2 $.
Ответ: $ x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty) $.

8) Исходное неравенство: $ x + \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x^2} + 2 $.
ОДЗ: $ x^2 \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $.
Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $ \frac{1}{x^2} $.
$ x < 2 $.
Учитывая ОДЗ, получаем решение.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) $.

9) Исходное неравенство: $ |x| \ge -x^2 $.
Для любого действительного числа $ x $, модуль $ |x| $ является неотрицательным числом: $ |x| \ge 0 $.
Выражение $ x^2 $ также неотрицательно ($ x^2 \ge 0 $), следовательно, $ -x^2 $ является неположительным числом ($ -x^2 \le 0 $).
Неотрицательное число всегда больше или равно неположительному.
Равенство достигается только при $ x=0 $, когда обе части равны нулю ($ 0 \ge 0 $).
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $ x \in (-\infty, \infty) $.

10) Исходное неравенство: $ |x| > -x^2 $.
Как и в предыдущем пункте, $ |x| \ge 0 $ и $ -x^2 \le 0 $.
Неравенство строгое. Оно не будет выполняться только в случае, когда обе части равны, то есть $ |x| = -x^2 $.
Это возможно только при $ x=0 $, когда $ |0| > -0^2 $, то есть $ 0 > 0 $, что неверно.
Для всех остальных $ x \neq 0 $, имеем $ |x| > 0 $ и $ -x^2 < 0 $. Положительное число всегда больше отрицательного, поэтому неравенство выполняется.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty) $.

11) Исходное неравенство: $ |x| > x $.
Рассмотрим два случая:
1. Если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $. Неравенство принимает вид $ x > x $, что неверно ни для какого $ x $.
2. Если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Неравенство принимает вид $ -x > x $. Перенеся $ x $ в левую часть, получаем $ -2x > 0 $, или $ x < 0 $. Это совпадает с нашим предположением для данного случая.
Следовательно, решением является множество всех отрицательных чисел.
Ответ: $ x \in (-\infty, 0) $.

12) Исходное неравенство: $ |x| \ge -x $.
Рассмотрим два случая:
1. Если $ x \ge 0 $, то $ |x| = x $. Неравенство принимает вид $ x \ge -x $, или $ 2x \ge 0 $, что означает $ x \ge 0 $. Решение в этом случае — все неотрицательные числа.
2. Если $ x < 0 $, то $ |x| = -x $. Неравенство принимает вид $ -x \ge -x $, что является верным для любого $ x $. Решение в этом случае — все отрицательные числа.
Объединяя решения из обоих случаев ($ x \ge 0 $ и $ x < 0 $), получаем, что неравенство верно для всех действительных чисел.
Ответ: $ x \in (-\infty, \infty) $.