Номер 1, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте правила, с помощью которых можно получить неравенство, равносильное данному.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений совпадают. То есть, каждое решение первого неравенства является решением второго, и наоборот. Преобразование, которое переводит неравенство в равносильное ему, называется равносильным преобразованием. Чтобы получить неравенство, равносильное данному, можно выполнять следующие преобразования:

1. Тождественные преобразования выражений в частях неравенства
Если в левой или правой части неравенства выполнить тождественное преобразование (например, раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, применить формулы сокращенного умножения), не изменяющее область допустимых значений (ОДЗ) переменной, то получится неравенство, равносильное исходному.
Пример: Неравенство $(x+2)^2 > 3x + 10$ равносильно неравенству $x^2 + 4x + 4 > 3x + 10$, так как выражение $(x+2)^2$ тождественно равно $x^2 + 4x + 4$.

2. Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую
Любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный. При этом знак самого неравенства сохраняется. Это правило является следствием возможности прибавлять или вычитать одно и то же выражение из обеих частей неравенства.
Пример: Неравенство $5x - 7 > 3x + 1$ равносильно неравенству $5x - 3x > 1 + 7$.

3. Умножение или деление обеих частей на положительное число или выражение
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число ($c > 0$) или на выражение $h(x)$, которое принимает только положительные значения ($h(x) > 0$) на всей ОДЗ неравенства. Знак неравенства при этом не меняется.
Пример: Неравенство $2x < 8$ равносильно неравенству $x < 4$ (деление на 2). Неравенство $\frac{x-1}{x^2+1} < 1$ равносильно неравенству $x-1 < x^2+1$, так как $x^2+1$ всегда больше нуля.

4. Умножение или деление обеих частей на отрицательное число или выражение
Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число ($c < 0$) или на выражение $h(x)$, которое принимает только отрицательные значения ($h(x) < 0$) на всей ОДЗ. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный ($>$ на <, < на $>$, $\geq$ на $\leq$, $\leq$ на $\geq$).
Пример: Неравенство $-3x \geq 12$ равносильно неравенству $x \leq -4$ (деление на -3 со сменой знака с $\geq$ на $\leq$).

5. Применение монотонной функции к обеим частям неравенства
К обеим частям неравенства можно применить одну и ту же строго монотонную функцию, при условии, что обе части входят в ее область определения.
- Если функция строго возрастающая (например, возведение в нечетную степень, логарифмирование по основанию больше 1), то знак неравенства сохраняется.
Пример: Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ неотрицательны, то оно равносильно $f^2(x) > g^2(x)$, так как функция $y=x^2$ на $[0, +\infty)$ возрастает.
- Если функция строго убывающая (например, логарифмирование по основанию от 0 до 1), то знак неравенства меняется на противоположный.
Пример: Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ положительны, то оно равносильно $\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$, так как функция $y = 1/x$ на $(0, +\infty)$ убывает.

Ответ:

Чтобы получить неравенство, равносильное данному, можно использовать следующие правила:

1. Выполнение тождественных преобразований (упрощение выражений) в любой из частей неравенства, не меняющих его область допустимых значений.

2. Перенос любого члена из одной части неравенства в другую с изменением его знака на противоположный.

3. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число (или выражение, строго положительное на ОДЗ), сохраняя при этом знак неравенства.

4. Умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число (или выражение, строго отрицательное на ОДЗ), изменяя при этом знак неравенства на противоположный.

5. Применение к обеим частям неравенства строго возрастающей функции с сохранением знака неравенства или строго убывающей функции с изменением знака на противоположный (при условии, что обе части принадлежат области определения функции).