Номер 2, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Какие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной?

Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно свести к одному из следующих видов: $ax > b$, $ax < b$, $ax \ge b$ или $ax \le b$ с помощью тождественных преобразований.

В этих неравенствах:

• $x$ — это переменная, значение которой нужно найти.
• $a$ и $b$ — некоторые действительные числа (коэффициенты).

Ключевое условие, которое делает неравенство линейным, — это то, что коэффициент $a$ при переменной $x$ не должен быть равен нулю ($a \ne 0$). Если $a=0$, то переменная $x$ исчезает из неравенства, и оно становится либо верным ($0 > -5$), либо неверным ($0 > 5$) числовым неравенством, но уже не является линейным относительно $x$.

Название "линейное" происходит от связи с линейной функцией $y = ax + b$, график которой — прямая линия. Решение неравенства, например, $ax + b > 0$, геометрически означает поиск тех значений $x$, для которых соответствующая точка на прямой лежит выше оси абсцисс.

Многие неравенства, которые на первый взгляд не выглядят как линейные, могут быть сведены к стандартному виду.

Пример:
Рассмотрим неравенство $7(x - 2) \ge 3x + 6$.
1. Раскроем скобки: $7x - 14 \ge 3x + 6$.
2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки: $7x - 3x \ge 6 + 14$.
3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях: $4x \ge 20$.
В результате мы получили неравенство вида $ax \ge b$, где $a = 4$ и $b = 20$. Это доказывает, что исходное неравенство является линейным.

Ответ: Линейным неравенством с одной переменной называют неравенство, которое можно представить в виде $ax > b$ (или с знаками $<, \ge, \le$), где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа, причем коэффициент $a$ не равен нулю ($a \ne 0$).