Номер 104, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

104. Среди данных неравенств укажите неравенство, решением которого является любое действительное число, и неравенство, не имеющее решений:

1) $\frac{x^2+1}{x^2} \ge 0;$

2) $\frac{x^2+1}{x^2+1} < 1;$

3) $\frac{x^2-1}{x^2-1} \ge 1;$

4) $\frac{x^2}{x^2+1} \ge 0.$

Для того чтобы ответить на вопрос, проанализируем каждое из данных неравенств.

1) $ \frac{x^2 + 1}{x^2} \ge 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием, что знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 \ne 0$, откуда следует, что $x \ne 0$. Для любого действительного числа $x$, выражение $x^2 \ge 0$, следовательно, числитель $x^2 + 1 \ge 1$, то есть он всегда строго положителен. Знаменатель $x^2$ также положителен для любого $x$ из ОДЗ. Отношение двух положительных чисел всегда положительно. Таким образом, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2) $ \frac{x^2 + 1}{x^2 + 1} < 1 $

Знаменатель выражения $x^2 + 1$ всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, а значит $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку числитель и знаменатель дроби равны и не обращаются в ноль, значение этой дроби всегда равно 1. Таким образом, исходное неравенство равносильно неверному числовому неравенству $1 < 1$. Это неравенство не выполняется ни при каком значении $x$.

Ответ: Неравенство не имеет решений ($\emptyset$).

3) $ \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} \ge 1 $

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $x^2 - 1 \ne 0$, что равносильно $x^2 \ne 1$, или $x \ne 1$ и $x \ne -1$. На области допустимых значений числитель и знаменатель равны, поэтому выражение $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}$ равно 1. Неравенство сводится к верному числовому неравенству $1 \ge 1$. Следовательно, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

4) $ \frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0 $

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен, поэтому ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Числитель $x^2$ является неотрицательным для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$). Знаменатель $x^2 + 1$ всегда строго положителен ($x^2 + 1 > 0$). Отношение неотрицательного числа к положительному числу всегда является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.

Ответ: Решением является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Итоговые выводы:

Неравенство, решением которого является любое действительное число: 4).

Неравенство, не имеющее решений: 2).