Номер 106, страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

106. Найдите множество решений неравенства:

1) $|x| > 0;$

2) $|x| \le 0;$

3) $|x| < 0;$

4) $|x| \le -1;$

5) $|x| > -3;$

6) $\left|\frac{1}{x}\right| > -3.$

1) Решим неравенство $|x| > 0$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $|x| \ge 0$.

Неравенство $|x| > 0$ выполняется для всех значений $x$, для которых модуль не равен нулю.

Модуль равен нулю только в одном случае: $|x| = 0$, когда $x = 0$.

Следовательно, решением неравенства являются все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) Решим неравенство $|x| \le 0$.

Это неравенство можно разбить на два условия: $|x| < 0$ или $|x| = 0$.

Как мы знаем, модуль любого числа всегда неотрицателен ($|x| \ge 0$), поэтому неравенство $|x| < 0$ не имеет решений.

Остается только условие $|x| = 0$, которое выполняется только при $x = 0$.

Таким образом, единственным решением неравенства является $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

3) Решим неравенство $|x| < 0$.

Модуль любого действительного числа по определению является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Неотрицательное число не может быть строго меньше нуля. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Множество решений является пустым.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

4) Решим неравенство $|x| \le -1$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ всегда больше или равен нулю ($|x| \ge 0$).

Неотрицательное число не может быть меньше или равно отрицательному числу -1. Поэтому данное неравенство не имеет решений.

Множество решений является пустым.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

5) Решим неравенство $|x| > -3$.

Модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$).

Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, в том числе и -3.

Таким образом, неравенство $|x| > -3$ справедливо для любого действительного числа $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

6) Решим неравенство $|\frac{1}{x}| > -3$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как $x$ находится в знаменателе дроби, $x$ не может быть равен нулю: $x \ne 0$.

Рассмотрим само неравенство. Выражение $|\frac{1}{x}|$ представляет собой модуль некоторого числа. Как и в предыдущем пункте, модуль любого числа всегда неотрицателен: $|\frac{1}{x}| \ge 0$.

Любое неотрицательное число всегда больше -3. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений $x$ из области допустимых значений.

Объединяя это с ОДЗ, получаем, что решением являются все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.