Номер 103, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

103. Решением какого из данных неравенств является любое действительное число:

1) $x^2 > 0$;

2) $x > -x$;

3) $-x^2 \le 0$;

4) $\sqrt{x} \ge 0?$

Для того чтобы определить, решением какого из предложенных неравенств является любое действительное число, необходимо проанализировать каждое из них.

1) $x^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Неравенство $x^2 > 0$ будет верным для всех действительных чисел, за исключением случая, когда $x^2 = 0$. Это происходит при $x = 0$. В точке $x=0$ неравенство $0 > 0$ является ложным. Следовательно, решением данного неравенства является не вся числовая прямая, а объединение интервалов $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: не является.

2) $x > -x$
Для решения этого неравенства прибавим $x$ к обеим его частям:
$x + x > -x + x$
$2x > 0$
Разделим обе части на 2:
$x > 0$
Решением этого неравенства являются только положительные действительные числа. Это не все действительные числа.
Ответ: не является.

3) $-x^2 \le 0$
Рассмотрим выражение $x^2$. Для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ всегда будет неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Если умножить это верное для любого $x$ неравенство на -1, то, согласно свойствам неравенств, знак неравенства изменится на противоположный:
$(-1) \cdot x^2 \le (-1) \cdot 0$
$-x^2 \le 0$
Данное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$:
- если $x$ — положительное или отрицательное число, то $x^2 > 0$, а $-x^2 < 0$, что удовлетворяет условию $\le 0$.
- если $x = 0$, то $-x^2 = 0$, что также удовлетворяет условию $\le 0$.
Таким образом, решением неравенства является множество всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$.
Ответ: является.

4) $\sqrt{x} \ge 0$
Выражение $\sqrt{x}$ (арифметический квадратный корень) по определению имеет смысл только для неотрицательных значений $x$, то есть область определения этого выражения — $x \ge 0$. Для отрицательных действительных чисел (например, $x = -1$) это выражение не определено в множестве действительных чисел.
Поскольку неравенство должно быть верным для *любого* действительного числа, а данное даже не определено для всех $x < 0$, оно не подходит.
Ответ: не является.