Номер 96, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

96. Является ли решением неравенства $6x + 1 \leq 2 + 7x$ число:

1) -0,1;

2) -2;

3) 0;

4) -1;

5) 2?

Чтобы определить, является ли указанное число решением неравенства, можно сначала найти общее решение этого неравенства, а затем проверить, принадлежит ли ему данное число. Также можно подставить число вместо переменной $x$ в исходное неравенство и проверить, выполняется ли оно.

Сначала решим неравенство $6x + 1 \le 2 + 7x$.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6x - 7x \le 2 - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$-x \le 1$
Чтобы найти $x$, умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$x \ge -1$
Таким образом, решением неравенства является любое число из промежутка $[-1; +\infty)$.

Теперь проверим каждое из предложенных чисел.

1) -0,1;
Число $-0,1$ принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как выполняется условие $-0,1 \ge -1$.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(-0,1) + 1 \le 2 + 7(-0,1) \implies -0,6 + 1 \le 2 - 0,7 \implies 0,4 \le 1,3$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

2) -2;
Число $-2$ не принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как условие $-2 \ge -1$ не выполняется.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(-2) + 1 \le 2 + 7(-2) \implies -12 + 1 \le 2 - 14 \implies -11 \le -12$. Неравенство неверное.
Ответ: нет, не является.

3) 0;
Число $0$ принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как выполняется условие $0 \ge -1$.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(0) + 1 \le 2 + 7(0) \implies 0 + 1 \le 2 + 0 \implies 1 \le 2$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

4) -1;
Число $-1$ является граничной точкой промежутка $[-1; +\infty)$ и принадлежит ему, так как неравенство нестрогое ($x \ge -1$).
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(-1) + 1 \le 2 + 7(-1) \implies -6 + 1 \le 2 - 7 \implies -5 \le -5$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.

5) 2?
Число $2$ принадлежит промежутку $[-1; +\infty)$, так как выполняется условие $2 \ge -1$.
Проверим подстановкой в исходное неравенство: $6(2) + 1 \le 2 + 7(2) \implies 12 + 1 \le 2 + 14 \implies 13 \le 16$. Неравенство верное.
Ответ: да, является.