Номер 2, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Что означает решить неравенство?

Решить неравенство — это значит найти все значения переменной (или нескольких переменных), при подстановке которых в исходное неравенство оно превращается в верное числовое неравенство. Также процесс решения включает в себя доказательство того, что других значений, удовлетворяющих неравенству, не существует.

Совокупность всех найденных значений называется множеством решений неравенства. В отличие от уравнений, решением которых часто является одно или несколько чисел, решением неравенства, как правило, выступает целый числовой промежуток или их объединение.

Рассмотрим процесс на примере неравенства:
$2x - 1 > 5$

1. Чтобы найти значения $x$, при которых это неравенство верно, выполним равносильные преобразования. Прибавим к обеим частям неравенства 1:
$2x - 1 + 1 > 5 + 1$
$2x > 6$

2. Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{2x}{2} > \frac{6}{2}$
$x > 3$

Полученный результат $x > 3$ и есть решение неравенства. Это означает, что любое число, которое строго больше 3, будет обращать исходное неравенство в верное числовое высказывание. Например, при $x=4$ получаем $2 \cdot 4 - 1 = 7$, и $7 > 5$ (верно). При $x=3$ или $x < 3$ неравенство будет неверным.

Множество решений принято записывать в виде числового промежутка: $x \in (3; +\infty)$.

Если в ходе преобразований выясняется, что ни одно значение переменной не удовлетворяет условию (например, получается неверное числовое неравенство вида $0 > 5$), то говорят, что неравенство не имеет решений, а его множество решений является пустым ($\emptyset$).

Ответ: Решить неравенство — значит найти множество всех значений переменной, которые удовлетворяют данному неравенству, или доказать, что таких значений не существует.