Номер 94, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

94. Какие из чисел $-4; -0,5; 0; \frac{1}{3}; 2$ являются решениями неравенства:

1) $x > \frac{1}{6};$

2) $x \le 5;$

3) $3x > x - 1;$

4) $x^2 - 9 \le 0;$

5) $\sqrt{x - 1} > 1;$

6) $\frac{1}{x} > 1?$

1) Для неравенства $x > \frac{1}{6}$ нужно проверить, какие из предложенных чисел больше $\frac{1}{6}$ (это примерно $0,167$).
- $x = -4$: $-4 > \frac{1}{6}$ (неверно).
- $x = -0,5$: $-0,5 > \frac{1}{6}$ (неверно).
- $x = 0$: $0 > \frac{1}{6}$ (неверно).
- $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > \frac{1}{6}$ (верно, так как $\frac{2}{6} > \frac{1}{6}$).
- $x = 2$: $2 > \frac{1}{6}$ (верно).

Ответ: $\frac{1}{3}; 2$.

2) Для неравенства $x \le 5$ нужно проверить, какие из предложенных чисел меньше или равны 5.
- $x = -4$: $-4 \le 5$ (верно).
- $x = -0,5$: $-0,5 \le 5$ (верно).
- $x = 0$: $0 \le 5$ (верно).
- $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} \le 5$ (верно).
- $x = 2$: $2 \le 5$ (верно).
Все предложенные числа являются решениями этого неравенства.

Ответ: $-4; -0,5; 0; \frac{1}{3}; 2$.

3) Сначала упростим неравенство $3x > x - 1$:
$3x - x > -1$
$2x > -1$
$x > -\frac{1}{2}$ или $x > -0,5$.
Теперь проверим, какие из чисел удовлетворяют этому условию:
- $x = -4$: $-4 > -0,5$ (неверно).
- $x = -0,5$: $-0,5 > -0,5$ (неверно, так как числа равны).
- $x = 0$: $0 > -0,5$ (верно).
- $x = \frac{1}{3}$: $\frac{1}{3} > -0,5$ (верно).
- $x = 2$: $2 > -0,5$ (верно).

Ответ: $0; \frac{1}{3}; 2$.

4) Решим неравенство $x^2 - 9 \le 0$:
$x^2 \le 9$
Это неравенство выполняется для всех $x$, удовлетворяющих условию $-3 \le x \le 3$.
Проверим, какие из предложенных чисел попадают в этот промежуток:
- $x = -4$: не попадает в промежуток $[-3; 3]$ (неверно).
- $x = -0,5$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).
- $x = 0$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).
- $x = \frac{1}{3}$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).
- $x = 2$: попадает в промежуток $[-3; 3]$ (верно).

Ответ: $-0,5; 0; \frac{1}{3}; 2$.

5) Для неравенства $\sqrt{x-1} > 1$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Из предложенных чисел этому условию удовлетворяет только $x=2$. Остальные числа ($-4, -0,5, 0, \frac{1}{3}$) не входят в ОДЗ.
Проверим число $x=2$, подставив его в неравенство:
$\sqrt{2-1} > 1$
$\sqrt{1} > 1$
$1 > 1$ (неверно).
Следовательно, ни одно из данных чисел не является решением.

Ответ: таких чисел нет.

6) Для неравенства $\frac{1}{x} > 1$ заметим, что $x$ не может быть равен 0. Чтобы дробь была больше 1, знаменатель $x$ должен быть положительным и меньше 1. Таким образом, решение неравенства — это интервал $(0; 1)$.
Проверим, какие из предложенных чисел попадают в этот интервал:
- $x = -4$: не попадает в $(0; 1)$ (неверно).
- $x = -0,5$: не попадает в $(0; 1)$ (неверно).
- $x = 0$: не входит в область определения.
- $x = \frac{1}{3}$: попадает в $(0; 1)$ (верно).
- $x = 2$: не попадает в $(0; 1)$ (неверно).

Ответ: $\frac{1}{3}$.