Номер 3, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что образуют все решения неравенства?

Решением неравенства с одной переменной называется значение этой переменной, при подстановке которого неравенство обращается в верное числовое неравенство. Как правило, неравенство имеет не одно, а бесконечно много решений.

Совокупность всех решений неравенства образует множество решений неравенства. Это множество может представлять собой:

• Числовой промежуток. Это наиболее частый случай. В зависимости от вида неравенства, это может быть:

  • Интервал, например, $x \in (a, b)$, что соответствует строгому неравенству $a < x < b$.

  • Отрезок, например, $x \in [a, b]$, что соответствует нестрогому неравенству $a \leq x \leq b$.

  • Полуинтервал, например, $x \in [a, b)$ или $x \in (a, b]$, что соответствует смешанным неравенствам $a \leq x < b$ или $a < x \leq b$.

  • Луч, например, $x \in (a, +\infty)$ или $x \in (-\infty, a]$, что соответствует неравенствам $x > a$ или $x \leq a$.

• Объединение нескольких числовых промежутков. Например, решение неравенства $(x-1)(x-5) > 0$ представляет собой объединение двух лучей: $x \in (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$.

• Множество, состоящее из одного числа. Например, неравенство $x^2 \leq 0$ имеет единственное решение $x=0$.

• Пустое множество ($\emptyset$). Это означает, что неравенство не имеет решений. Например, неравенство $x^2 < -1$.

• Вся числовая прямая ($\mathbb{R}$). Это означает, что любое действительное число является решением. Например, для неравенства $x^2 \geq 0$ решением является любое число, т.е. $x \in (-\infty, +\infty)$.

Таким образом, все решения неравенства образуют множество, которое чаще всего является числовым промежутком или их объединением.

Ответ: Все решения неравенства образуют множество решений, которое чаще всего представляет собой числовой промежуток (интервал, отрезок, луч) или объединение нескольких таких промежутков. В некоторых случаях множество решений может быть пустым, состоять из одного числа или представлять собой всю числовую прямую.