Номер 92, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

92. Равносильны ли уравнения:

1) $4x + 6 = 2x - 3$ и $4x + 3 = 2x - 6;$

2) $8x - 4 = 0$ и $2x - 1 = 0;$

3) $x^2 + 2x - 3 = 0$ и $x^2 + x = 3 - x;$

4) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0;$

5) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0;$

6) $x^2 + 1 = 0$ и $0x = 5?$

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. Если оба уравнения не имеют корней, они также считаются равносильными.

1) $4x + 6 = 2x - 3$ и $4x + 3 = 2x - 6$

Решим первое уравнение:
$4x + 6 = 2x - 3$
$4x - 2x = -3 - 6$
$2x = -9$
$x = -4.5$
Корень первого уравнения: $x = -4.5$.

Решим второе уравнение:
$4x + 3 = 2x - 6$
$4x - 2x = -6 - 3$
$2x = -9$
$x = -4.5$
Корень второго уравнения: $x = -4.5$.

Множества корней обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа $-4.5$), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

2) $8x - 4 = 0$ и $2x - 1 = 0$

Решим первое уравнение:
$8x = 4$
$x = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Корень первого уравнения: $x = 0.5$.

Решим второе уравнение:
$2x = 1$
$x = \frac{1}{2}$
Корень второго уравнения: $x = 0.5$.

Множества корней обоих уравнений совпадают, следовательно, уравнения равносильны. (Заметим, что первое уравнение получается из второго умножением на 4, что является равносильным преобразованием).
Ответ: да, уравнения равносильны.

3) $x^2 + 2x - 3 = 0$ и $x^2 + x = 3 - x$

Решим первое уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$. Это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Преобразуем второе уравнение:
$x^2 + x = 3 - x$
$x^2 + x + x - 3 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Второе уравнение после преобразования полностью совпадает с первым. Следовательно, оно имеет те же корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Множества корней обоих уравнений совпадают ($\{1, -3\}$), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

4) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x^2 - 1 = 0$

Решим первое уравнение $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$x^2 - 1 = 0 \implies (x-1)(x+1)=0 \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.
При этом знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Исключаем корень $x = -1$. Единственным корнем первого уравнения является $x = 1$.

Решим второе уравнение $x^2 - 1 = 0$.
$(x-1)(x+1)=0$.
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

Множество корней первого уравнения $\{1\}$, а второго — $\{-1, 1\}$. Так как множества корней не совпадают, уравнения не являются равносильными.
Ответ: нет, уравнения не равносильны.

5) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ и $x - 1 = 0$

Как мы выяснили в предыдущем пункте, корень первого уравнения $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$ — это $x = 1$. Это следует из того, что числитель $x^2-1$ должен быть равен нулю, а знаменатель $x+1$ — нет. $x^2-1=0$ дает корни $x=1$ и $x=-1$. Условие $x+1 \neq 0$ исключает корень $x=-1$.

Решим второе уравнение:
$x - 1 = 0$
$x = 1$

Множества корней обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа $1$), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.

6) $x^2 + 1 = 0$ и $0x = 5$

Решим первое уравнение $x^2 + 1 = 0$.
$x^2 = -1$.
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это уравнение не имеет корней в множестве действительных чисел.

Решим второе уравнение $0x = 5$.
При умножении любого числа $x$ на 0 получается 0. Равенство $0 = 5$ является ложным. Следовательно, это уравнение также не имеет корней.

Оба уравнения не имеют корней. Множество корней для каждого из них — пустое множество ($\emptyset$). Так как множества корней совпадают, уравнения равносильны.
Ответ: да, уравнения равносильны.