Номер 88, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

88. Упростите выражение:

1) $ \frac{x-3}{x+3} \cdot \left(x+\frac{x^2}{3-x}\right)$;

2) $ \left(\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}\right) : \frac{ab}{a^2-b^2}$.

1) Упростим выражение $\frac{x-3}{x+3} \cdot (x + \frac{x^2}{3-x})$.

Сначала выполним действие в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю. Общий знаменатель для $x$ и $\frac{x^2}{3-x}$ это $(3-x)$.

$x + \frac{x^2}{3-x} = \frac{x(3-x)}{3-x} + \frac{x^2}{3-x} = \frac{3x - x^2 + x^2}{3-x} = \frac{3x}{3-x}$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{3-x}$

Чтобы можно было сократить дробь, вынесем в знаменателе второго множителя $-1$ за скобки: $3-x = -(x-3)$.

$\frac{x-3}{x+3} \cdot \frac{3x}{-(x-3)}$

Теперь сократим общий множитель $(x-3)$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

$\frac{1}{x+3} \cdot \frac{3x}{-1} = -\frac{3x}{x+3}$

Ответ: $-\frac{3x}{x+3}$

2) Упростим выражение $(\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b}) : \frac{ab}{a^2-b^2}$.

Сначала выполним вычитание дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$, который по формуле разности квадратов равен $a^2-b^2$.

$\frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{a^2-b^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Числитель примет вид:

$(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2 = 4ab$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{4ab}{a^2-b^2}$. Теперь выполним деление:

$\frac{4ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a^2-b^2}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{4ab}{a^2-b^2} \cdot \frac{a^2-b^2}{ab}$

Сократим одинаковые множители $(a^2-b^2)$ и $(ab)$ в числителе и знаменателе. Область допустимых значений: $a, b \neq 0$ и $a \neq \pm b$.

$\frac{4\cancel{ab}}{\cancel{a^2-b^2}} \cdot \frac{\cancel{a^2-b^2}}{\cancel{ab}} = 4$

Ответ: $4$