Номер 81, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

81. Докажите утверждение:

1) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$;

2) если $a > 0, b > 0$ и $a^2 > b^2$, то $a > b$.

1) Чтобы доказать, что при условии $a < b < 0$ выполняется неравенство $a^2 > b^2$, рассмотрим разность $a^2 - b^2$. Нам нужно доказать, что эта разность положительна.

Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Определим знак каждого множителя:

• Множитель $(a - b)$. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна, то есть $a - b < 0$.

• Множитель $(a + b)$. Из условия $a < 0$ и $b < 0$ следует, что сумма двух отрицательных чисел также является отрицательным числом, то есть $a + b < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом. Следовательно, $(a - b)(a + b) > 0$.

Так как $a^2 - b^2 > 0$, то $a^2 > b^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Чтобы доказать, что при условии $a > 0$, $b > 0$ и $a^2 > b^2$ выполняется неравенство $a > b$, снова рассмотрим разность $a^2 - b^2$.

Из условия $a^2 > b^2$ следует, что $a^2 - b^2 > 0$.

Разложим левую часть на множители: $(a - b)(a + b) > 0$.

Определим знак одного из множителей:

• Множитель $(a + b)$. Из условия $a > 0$ и $b > 0$ следует, что сумма двух положительных чисел является положительным числом, то есть $a + b > 0$.

Мы имеем произведение двух множителей, которое больше нуля. Один из множителей, $(a + b)$, положителен. Чтобы произведение было положительным, второй множитель, $(a - b)$, также должен быть положительным.

Таким образом, $a - b > 0$.

Из этого следует, что $a > b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.