Номер 75, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

75. Дано: $5 < a < 8$ и $3 < b < 6$. Оцените значение выражения:

1) $4a + 3b;$

2) $3a - 6b;$

3) $\frac{a}{b};$

4) $\frac{2b}{3a}.$

1) Для того чтобы оценить выражение $4a + 3b$, необходимо оценить каждое слагаемое в отдельности, используя данные неравенства $5 < a < 8$ и $3 < b < 6$.
Сначала оценим значение $4a$. Умножим все части неравенства $5 < a < 8$ на положительное число 4:
$4 \cdot 5 < 4 \cdot a < 4 \cdot 8$
$20 < 4a < 32$
Теперь оценим значение $3b$. Умножим все части неравенства $3 < b < 6$ на положительное число 3:
$3 \cdot 3 < 3 \cdot b < 3 \cdot 6$
$9 < 3b < 18$
Теперь, используя свойство сложения неравенств, сложим почленно полученные неравенства:
$(20 + 9) < (4a + 3b) < (32 + 18)$
$29 < 4a + 3b < 50$
Ответ: $29 < 4a + 3b < 50$.

2) Для оценки выражения $3a - 6b$ оценим $3a$ и $-6b$.
Оценим $3a$. Умножим неравенство $5 < a < 8$ на 3:
$3 \cdot 5 < 3 \cdot a < 3 \cdot 8$
$15 < 3a < 24$
Оценим $-6b$. Сначала найдем границы для $6b$, умножив неравенство $3 < b < 6$ на 6:
$6 \cdot 3 < 6 \cdot b < 6 \cdot 6$
$18 < 6b < 36$
Чтобы получить $-6b$, умножим последнее неравенство на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-36 < -6b < -18$
Теперь сложим почленно неравенства для $3a$ и $-6b$:
$(15 - 36) < (3a - 6b) < (24 - 18)$
$-21 < 3a - 6b < 6$
Ответ: $-21 < 3a - 6b < 6$.

3) Чтобы оценить частное $\frac{a}{b}$, нужно перемножить неравенства для $a$ и $\frac{1}{b}$.
Исходное неравенство для $a$: $5 < a < 8$.
Найдем границы для $\frac{1}{b}$. Из неравенства $3 < b < 6$ (все его части положительны) следует, что:
$\frac{1}{6} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$
Теперь перемножим почленно неравенства $5 < a < 8$ и $\frac{1}{6} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}$. Так как все части неравенств положительны, мы можем это сделать:
$5 \cdot \frac{1}{6} < a \cdot \frac{1}{b} < 8 \cdot \frac{1}{3}$
$\frac{5}{6} < \frac{a}{b} < \frac{8}{3}$
Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{a}{b} < \frac{8}{3}$.

4) Чтобы оценить выражение $\frac{2b}{3a}$, представим его как произведение $\frac{2}{3} \cdot \frac{b}{a}$ и оценим сначала множитель $\frac{b}{a}$.
Для оценки $\frac{b}{a}$ нам потребуются неравенства для $b$ и $\frac{1}{a}$.
Неравенство для $b$ дано: $3 < b < 6$.
Найдем неравенство для $\frac{1}{a}$. Из $5 < a < 8$ следует:
$\frac{1}{8} < \frac{1}{a} < \frac{1}{5}$
Перемножим почленно неравенства для $b$ и $\frac{1}{a}$:
$3 \cdot \frac{1}{8} < b \cdot \frac{1}{a} < 6 \cdot \frac{1}{5}$
$\frac{3}{8} < \frac{b}{a} < \frac{6}{5}$
Теперь умножим полученное двойное неравенство на положительный коэффициент $\frac{2}{3}$:
$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} < \frac{2}{3} \cdot \frac{b}{a} < \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5}$
$\frac{6}{24} < \frac{2b}{3a} < \frac{12}{15}$
Сократим дроби в левой и правой частях:
$\frac{1}{4} < \frac{2b}{3a} < \frac{4}{5}$
Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{2b}{3a} < \frac{4}{5}$.