Номер 79, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

79. Докажите, что каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB = a$, $BC = b$, $CD = c$, $DA = d$.Периметр четырехугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c + d$.Полупериметр $p$ равен половине периметра: $p = \frac{P}{2} = \frac{a+b+c+d}{2}$.

Необходимо доказать, что каждая диагональ ($AC$ и $BD$) меньше полупериметра $p$. Для доказательства воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Доказательство для диагонали AC

Рассмотрим диагональ $AC$. Она разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

1. Применим неравенство треугольника для $\triangle ABC$:
$AC < AB + BC$ или $AC < a + b$.

2. Применим неравенство треугольника для $\triangle ADC$:
$AC < AD + DC$ или $AC < d + c$.

Сложим два полученных неравенства:
$AC + AC < (a + b) + (d + c)$
$2 \cdot AC < a + b + c + d$

Правая часть неравенства — это периметр четырехугольника $P$.
$2 \cdot AC < P$

Разделим обе части неравенства на 2:
$AC < \frac{P}{2}$

Так как $p = \frac{P}{2}$, то мы доказали, что $AC < p$.

Доказательство для диагонали BD

Рассмотрим диагональ $BD$. Она разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

1. Применим неравенство треугольника для $\triangle ABD$:
$BD < AB + AD$ или $BD < a + d$.

2. Применим неравенство треугольника для $\triangle CBD$:
$BD < CB + CD$ или $BD < b + c$.

Сложим два полученных неравенства:
$BD + BD < (a + d) + (b + c)$
$2 \cdot BD < a + b + c + d$

Правая часть неравенства — это периметр четырехугольника $P$.
$2 \cdot BD < P$

Разделим обе части неравенства на 2:
$BD < \frac{P}{2}$

Так как $p = \frac{P}{2}$, то мы доказали, что $BD < p$.

Таким образом, мы доказали, что каждая диагональ выпуклого четырехугольника меньше его полупериметра.

Ответ: Что и требовалось доказать.