Номер 86, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

86. Сравните:

1) $\sqrt{10} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{11} + \sqrt{5}$;

2) $2 + \sqrt{11}$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$;

3) $\sqrt{15} - \sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$;

4) $\sqrt{21} + \sqrt{20}$ и $9$.

1) Чтобы сравнить выражения $\sqrt{10} + \sqrt{6}$ и $\sqrt{11} + \sqrt{5}$, возведем оба в квадрат, так как они оба положительны. Знак неравенства при этом не изменится.

Пусть $A = \sqrt{10} + \sqrt{6}$ и $B = \sqrt{11} + \sqrt{5}$.

Возводим в квадрат первое выражение:
$A^2 = (\sqrt{10} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{10})^2 + 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 10 + 2\sqrt{60} + 6 = 16 + 2\sqrt{60}$.

Возводим в квадрат второе выражение:
$B^2 = (\sqrt{11} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{11})^2 + 2 \cdot \sqrt{11} \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 11 + 2\sqrt{55} + 5 = 16 + 2\sqrt{55}$.

Теперь сравним полученные результаты: $16 + 2\sqrt{60}$ и $16 + 2\sqrt{55}$.
Отбросим общее слагаемое 16 и сравним $2\sqrt{60}$ и $2\sqrt{55}$. Разделив оба выражения на 2, получим $\sqrt{60}$ и $\sqrt{55}$.

Так как подкоренное выражение $60$ больше, чем $55$, то $\sqrt{60} > \sqrt{55}$.

Следовательно, $16 + 2\sqrt{60} > 16 + 2\sqrt{55}$, а значит $A^2 > B^2$. Поскольку $A$ и $B$ — положительные числа, то $A > B$.

Ответ: $\sqrt{10} + \sqrt{6} > \sqrt{11} + \sqrt{5}$.

2) Чтобы сравнить $2 + \sqrt{11}$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$, представим $2$ как $\sqrt{4}$. Мы сравниваем $\sqrt{4} + \sqrt{11}$ и $\sqrt{5} + \sqrt{10}$. Оба выражения положительны, поэтому можно сравнить их квадраты.

Пусть $A = 2 + \sqrt{11}$ и $B = \sqrt{5} + \sqrt{10}$.

$A^2 = (2 + \sqrt{11})^2 = 4 + 4\sqrt{11} + 11 = 15 + 4\sqrt{11} = 15 + \sqrt{16 \cdot 11} = 15 + \sqrt{176}$.

$B^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{10})^2 = 5 + 2\sqrt{5 \cdot 10} + 10 = 15 + 2\sqrt{50} = 15 + \sqrt{4 \cdot 50} = 15 + \sqrt{200}$.

Теперь сравним $15 + \sqrt{176}$ и $15 + \sqrt{200}$. Отбросив общее слагаемое 15, сравниваем $\sqrt{176}$ и $\sqrt{200}$.

Так как $176 < 200$, то $\sqrt{176} < \sqrt{200}$.

Следовательно, $A^2 < B^2$, а так как $A$ и $B$ положительны, то $A < B$.

Ответ: $2 + \sqrt{11} < \sqrt{5} + \sqrt{10}$.

3) Чтобы сравнить $\sqrt{15} - \sqrt{5}$ и $\sqrt{2}$, сначала убедимся, что оба числа положительны. $\sqrt{15} > \sqrt{5}$, так как $15>5$, поэтому $\sqrt{15} - \sqrt{5} > 0$. Число $\sqrt{2}$ также положительно. Можем сравнить их квадраты.

Пусть $A = \sqrt{15} - \sqrt{5}$ и $B = \sqrt{2}$.

$A^2 = (\sqrt{15} - \sqrt{5})^2 = 15 - 2\sqrt{15 \cdot 5} + 5 = 20 - 2\sqrt{75}$.

$B^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Теперь сравним $20 - 2\sqrt{75}$ и $2$.
Это эквивалентно сравнению $20 - 2$ и $2\sqrt{75}$, то есть $18$ и $2\sqrt{75}$.
Разделим обе части на 2: сравним $9$ и $\sqrt{75}$.
Возведем в квадрат: $9^2 = 81$ и $(\sqrt{75})^2 = 75$.

Так как $81 > 75$, то $9 > \sqrt{75}$.

Из этого следует, что $18 > 2\sqrt{75}$, что можно переписать как $18 - 2\sqrt{75} > 0$.
Вернемся к сравнению $A^2$ и $B^2$: $A^2 = 20 - 2\sqrt{75} = 2 + (18 - 2\sqrt{75})$. Так как $18 - 2\sqrt{75} > 0$, то $A^2 > 2$, то есть $A^2 > B^2$.

Поскольку $A$ и $B$ положительны, из $A^2 > B^2$ следует $A > B$.

Ответ: $\sqrt{15} - \sqrt{5} > \sqrt{2}$.

4) Чтобы сравнить $\sqrt{21} + \sqrt{20}$ и $9$, возведем оба выражения в квадрат, так как они оба положительны.

Пусть $A = \sqrt{21} + \sqrt{20}$ и $B = 9$.

$A^2 = (\sqrt{21} + \sqrt{20})^2 = 21 + 2\sqrt{21 \cdot 20} + 20 = 41 + 2\sqrt{420}$.

$B^2 = 9^2 = 81$.

Теперь сравним $41 + 2\sqrt{420}$ и $81$.
Вычтем 41 из обеих частей: сравним $2\sqrt{420}$ и $81 - 41 = 40$.
Разделим на 2: сравним $\sqrt{420}$ и $20$.
Возведем в квадрат: $(\sqrt{420})^2 = 420$ и $20^2 = 400$.

Так как $420 > 400$, то $\sqrt{420} > 20$.

Проследив шаги в обратном порядке, получаем $2\sqrt{420} > 40$, и $41 + 2\sqrt{420} > 41 + 40 = 81$.
Следовательно, $A^2 > B^2$. Поскольку $A$ и $B$ положительны, то $A > B$.

Ответ: $\sqrt{21} + \sqrt{20} > 9$.